Exercise 2.10Z: Code Rate and Minimum Distance

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Die Erfinder der Reed–Solomon–Codes

Die von Irving Story Reed und Gustav Solomon Anfang der 1960er Jahre entwickelten Codes werden in diesem Tutorial wie folgt: :$${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min}) _q.\\$$ Die Codeparameter haben folgende Bedeutungen:

• $q = 2^m$ ist ein Hinweis auf die Größe des Galoisfeldes  ⇒  ${\rm GF}(q)$,
• $n = q - 1$ ist die Codelänge (Symbolanzahl eines Codewortes),
• $k$ gibt die Dimension an (Symbolanzahl eines Informationsblocks),
• $d_{\rm min}$ bezeichnet die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten. Bei RS–Codes erreicht $d_{\rm min} = n - k + 1$ seinen größten Wert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes.
• Die für diese Aufgabe relevanten Informationen finden Sie am Ende des Theorieteils, nämlich auf der Seite Codebezeichnung und Coderate.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Geben Sie die Kenngrößen des ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, d_{\rm min})_q$ an.

$q \ = \ $

$R \ = \ $

$e \ = \ $

$t \ = \ $

2

Geben Sie die Kenngrößen des $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$ an.

$R \ = \ $

$d_{\rm min} \ = \ $

3

Wieviele Bitfehler darf ein Empfangswort $\underline{y}$ maximal aufweisen, damit es mit Sicherheit decodiert wird?

$\underline{y} \ {\rm sicher \ decodierbar} \text{:} \hspace{0.2cm} N_{\rm Bitfehler} \ = \ $

4

Wieviele Bitfehler darf ein Empfangswort $\underline{y}$ im günstigsten Fall aufweisen, damit es noch richtig decodiert werden könnte?

$\underline{y} \ {\rm evtl. \ decodierbar} \text{:} \hspace{0.2cm} N_{\rm Bitfehler} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Aus der Codelänge $n = 255$ folgt $q \ \underline{= 256}$. Die Coderate ergibt sich zu

$$R = \frac{223}{255} \hspace{0.15cm}\underline {=0.8745}\hspace{0.05cm}$$

Die minimale Distanz beträgt

$$d_{\rm min} = n - k +1 = 255 - 223 +1 \hspace{0.15cm}\underline {=33}\hspace{0.05cm}.$$

Damit können

• $e = d_{\rm min} - 1 \ \underline{= 32}$ Symbolfehler erkannt werden,
• $t = e/2$ (abgerundet), also $\underline{t = 16}$ Symbolfehler korrigiert werden.

(2)  Dieser Code ist die Binärrepräsentation des unter (1) behandelten ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ mit genau der gleichen Coderate $R \ \underline{= 0.8745}$ und ebenfalls gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} \ \underline{= 33}$ wie dieser. Hier werden pro Codesymbol $8 \ \rm Bit \ (1 \ Byte)$ verwendet.

(3)  Aus $d_{\rm min} = 33$ folgt wieder $t = 16 \ \Rightarrow \ N_{\rm Bitfehler} \ \underline{= 16}$. Ist in jedem Codesymbol genau ein Bit verfälscht, so bedeutet dies gleichzeitig auch 16 Symbolfehler. Dies ist der maximale Wert, den der Reed–Solomon–Decoder noch verkraften kann.

(4)  Der RS–Decoder kann 16 verfälschte Codesymbole korrigieren, wobei es egal ist, ob in einem Codesymbol nur ein Bit oder alle $m = 8 \ \rm Bit$ verfälscht wurden. Deshalb können bei der günstigsten Fehlerverteilung bis zu $8 \cdot 16 \ \underline{= 128 \ \rm Bit}$ verfälscht sein, ohne dass das Codewort falsch decodiert wird.