Exercise 2.1: Election Demand

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Zu einer Bürgermeisterwahl treten die drei Kandidaten $A$, $B$ und $C$ an.

• Gewählt ist derjenige Kandidat, der mehr als $50\%$ der abgegebenen Stimmen erhält.
• Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber, so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.

Direkt nach Schließung der Wahllokale wird das Ergebnis einer Wahlnachfrage vorgelegt:

Kandidat $A$:   $48\%$,     Kandidat $B$:   $30\%$,     Kandidat $C$:   $22\%$.

Diese Nachfrage basiert auf einer Umfrage unter lediglich $N = 2000$ der insgesamt $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$ Wählerinnen und Wähler. Gehen Sie bei der Beantwortung der nachfolgenden Fragen von folgenden Voraussetzungen aus:

• Die bei der Wahl von den Kandidaten $A$, $B$ und $C$ tatsächlich erzielten Stimmen können als die Wahrscheinlichkeiten $p_A$, $p_B$ und $p_C$ aufgefasst werden, obwohl auch diese selbst als relative Häufigkeiten (bezogen auf $N'$) ermittelt werden.
• Die $2000$ ausgewählten Wähler repräsentieren die gesamte Wählerschaft im statistischen Sinne ideal und haben bei der Wahlnachfrage wahrheitsgemäß geantwortet.
• Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen sollen die Ergebnisse dieser Nachfrage als relative Häufigkeiten aufgefasst werden:

$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße.

• Die Thematik ist in dem folgenden Lernvideo zusammengefasst:

Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen

Fragebogen

1

Wen erwarten Sie nach dieser Nachfrage als zukünftigen Bürgermeister?

	Kandidat $A$,
	Kandidat $B$,
	Kandidat $C$.

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stichwahl erforderlich sein wird? Geben Sie hierfür die obere Schranke an.

$\text{Maximum: Pr(keine Stichwahl)} \ =$ $\ \rm \%$

3

Wir setzen nun voraus, dass Kandidat $A$ tatsächlich genau $48\%$ der Stimmen erhält. Wie groß ist damit höchstens die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ die Stichwahl erreicht?

$\text{Maximum: Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ =$ $\ \rm \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass $\underline{\text{Kandidat} \ A}$ wahrscheinlich gewinnt.

(2)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage ($h_{\rm A}$) vom endgültigen Ergebnis ($p_{\rm A}$) betragsmäßig um mehr als $2\%$ abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der großen Zahlen mit $N = 2000$: $${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$ Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen Fälle, dass $p_{\rm A} \le 46\%$ und $p_{\rm A} \ge 50\%$ ist. Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl: $${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$

(3)  Mit $\varepsilon = 4\%$ (ergibt sich aus $0.26 -0.22$) liefert das Gesetz der großen Zahlen: $${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$ Daraus folgt:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ mindestens $26\%$ der Stimmen erhält, ist nicht größer als $3.9\%$.
• Da $p_{\rm A} = 0.48$ fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig $p_{\rm B} \le 0.26$. Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgrößen handelt, sind $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$ und $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$ gleich.
• Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass $C$ die Stichwahl erreicht, ebenfalls auf $3.9\%$ beschränkt:

$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$