Exercise 2.3: DSB-AM Realization

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Nichtlineare Kennlinie zur AM–Realisierung

Zur Realisierung der so genannten „ZSB–AM mit Träger” soll ein Verstärker mit der Kennlinie

$$y = g(x) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-x/U}\right)$$

verwendet werden. Hierbei sind $x = x(t)$ und $y = y(t)$ als zeitabhängige Spannungen am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers zu verstehen. Der Parameter $U = 3 \ \rm V$ gibt die Sättigungsspannung des Verstärkers an.

Diese Kennlinie wird im Arbeitspunkt $A_0 = 2\ \rm V$ betrieben. Dies erreicht man beispielsweise durch das Eingangssignal

$$x(t) = A_0 + z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Setzen Sie für das Trägersignal und das Quellensignal jeweils Cosinusschwingungen voraus:

$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm T} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz},$$

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (2 \pi f_{\rm N} t),\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 1\,{\rm V},\hspace{0.2cm} f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie bei der Lösung dieser Aufgabe die Hilfsgröße

$$w(t) = x(t) - A_0 = z(t) + q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die nichtlineare Kennlinie kann entsprechend einer Taylorreihe um den Arbeitspunkt entwickelt werden:

$$y(x) = y(A_0) + \frac{1}{1!} \cdot y\hspace{0.08cm}{\rm '}(A_0) \cdot (x - A_0)+ \frac{1}{2!} \cdot y\hspace{0.08cm}''(A_0) \cdot (x - A_0)^2+ \frac{1}{3!} \cdot y\hspace{0.08cm}'''(A_0) \cdot (x - A_0)^3 + \text{ ...}$$

In Abhängigkeit der Hilfsgröße $w(t)$ kann das Ausgangssignal dann auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot w(t) + c_2 \cdot w^2(t)+ c_3 \cdot w^3(t) +\text{ ...}$$

Das ZSB–AM–Signal $s(t)$ erhält man durch die Bandbegrenzung von $y(t)$ auf den Frequenzbereich von $\text{23 kHz}$ bis $\text{37 kHz}$. Das heißt: Alle anderen Frequenzen als $f_{\rm T}$, $f_{\rm T}±f_{\rm N}$ sowie $f_{\rm T}±2f_{\rm N}$ werden durch den Bandpass entfernt.

Die Grafik zeigt die Kennlinie $g(x)$ sowie die Näherungen $g_1(x)$, $g_2(x)$ und $g_3(x)$, wenn man die Taylorreihe nach dem ersten, zweiten oder dritten Term abbricht. Man erkennt, dass die Näherung $g_3(x)$ im dargestellten Bereich innerhalb der Zeichengenauigkeit von $g(x)$ nicht mehr zu unterscheiden ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Beschreibung nichtlinearer Systeme im Buch „Lineare zeitinvariante Systeme”.

Fragebogen

1

In welchem Bereich kann das Eingangssignal $x(t)$ variieren? Geben Sie den Minimal– und Maximalwert der Hilfsgröße $w(t) = x(t) - A_0$ ein.

$w_{\rm min} \ = \ $ $\ \text{V}$

$w_{\rm max} \ = \ $ $\ \text{V}$

2

Berechnen Sie die Koeffizienten $c_0$ und $c_1$ der Taylorreihe.

$c_0 \ = \ $ $\ \text{V}$

$c_1 \ = \ $

3

Wie lauten die Koeffizienten $c_2$ und $c_3$ der nichtlinearen Kennlinie?

$c_2\ = \ $ $\ \rm V^{ -1 }$

$c_3\ = \ $ $\ \rm V^{ -2 }$

4

Zeigen Sie, dass sich eine „ZSB–AM mit Träger”–Konstellation ergibt, wenn man $c_3$ als vernachlässigbar klein betrachtet. Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?

$m \ = \ $

5

Welche der Aussagen treffen unter der Voraussetzung zu, dass man $c_3$ nicht als vernachlässigbar klein betrachten kann?

	Das Gewicht der Spektrallinie bei $f_{\rm T}$ wird nicht verändert.
	$s(t)$ beinhaltet nun auch Diraclinien bei $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$.
	Der kubische Term führt zu nichtlinearen Verzerrungen.
	Der kubische Term führt zu linearen Verzerrungen.

Musterlösung

Solution

(1)  Aus $x(t) = A_0 + z(t) + q(t)$ erhält man mit $A_0 = 2\ \rm V$ und $A_{\rm T} = A_{\rm N} = 1 \ \rm V$ den möglichen Bereich $0 \ \rm V ≤ x(t) ≤ 4\ \rm V$. Die Hilfsgröße $w(t)$ kann somit Werte zwischen $w_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = -2 \ \rm V}$ und $w_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = +2 \ \rm V}$ annehmen.

(2)  Der Koeffizient $c_0$ ist gleich dem Kennlinienwert im Arbeitspunkt. Mit $A_0 = 2 \ \rm V$, $U = 3 \ \rm V$ erhält man:

$$c_0 = y(A_0) = U \cdot \left( 1 -{\rm e} ^{-A_0/U}\right) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.460\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für den Taylorkoeffizienten $c_1$:

$$c_1 = y\hspace{0.06cm}'(A_0)= {\rm e} ^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.513}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die weiteren Ableitungen $(n ≥ 2)$ lauten:

$$y^{(n)}(A_0)= \frac{(-1)^{n-1}}{U^{n-1}} \cdot {\rm e} ^{-A_0/U} \hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergeben sich folgende Koeffizienten:

$$c_2 = \frac{1}{2!} \cdot y^{(2)}(A_0)= \frac{1}{2U} \cdot {\rm e}^{-A_0/U} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.086\,{\rm V^{-1}}}\hspace{0.05cm},$$

$$c_3 = \frac{1}{3!} \cdot y^{(3)}(A_0)= \frac{1}{6U^2} \cdot {\rm e}^{-A_0/U}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0095\,{\rm V^{-2}}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Setzt man $c_3 = 0$, so lautet das Ausgangssignal des Verstärkers:

$$y(t) = c_0 + c_1 \cdot (z(t) + q(t)) + c_2 \cdot (z^2(t) + q^2(t) + 2 \cdot z(t) \cdot q(t))\hspace{0.05cm}.$$

Nach dem Bandpass verbleiben somit noch folgende Signalanteile:

$$s(t) = c_1 \cdot z(t) + 2 \cdot c_2 \cdot z(t) \cdot q(t) = \left[c_1 \cdot A_{\rm T} + 2 \cdot c_2 \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \cdot \cos(\omega_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$

Der Modulationsgrad ist dann als Quotient der „Amplitude” der Nachrichtenschwingung zur „Amplitude” des Trägers zu bestimmen:

$$m = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}}{|c_1| \cdot A_{\rm T}} = \frac{2 \cdot |c_2| \cdot A_{\rm N}}{|c_1| }= \frac{2 \cdot 0.086 \cdot 1\,{\rm V}}{0.513 }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.335}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

• Unter Berücksichtigung des kubischen Anteils beinhaltet $y(t)$ noch folgende weitere Anteile:

$$y_3(t) = c_3 \cdot (z(t) + q(t))^3 = c_3 \cdot z^3(t) + 3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)+ 3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t) + c_3 \cdot q^3(t) \hspace{0.05cm}.$$

• Der erste Term führt zu Anteilen bei $f_{\rm T}$ und $3f_{\rm T}$, der letzte bei $f_{\rm N}$ und $3f_{\rm N}$. Der zweite Term ergibt einen Anteil bei $f_{\rm N}$ und weitere bei $2f_{\rm T} ± f_{\rm N}$:

$$3 \cdot c_3 \cdot z^2(t) \cdot q(t)= {3}/{2 } \cdot A_{\rm T}^2 \cdot A_{\rm N} \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm N} t) + \cos(2\omega_{\rm T} t) \cdot \cos(\omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$

• Entsprechend führt der dritte Summand in obiger Gleichung zu

$$3 \cdot c_3 \cdot z(t) \cdot q^2(t)= {3}/{2 } \cdot A_{\rm T} \cdot A_{\rm N}^2 \cdot \left[ \cos(\omega_{\rm T} t) + \cos(\omega_{\rm T} t)\cdot \cos(2 \omega_{\rm N} t)\right] \hspace{0.05cm}.$$

• Innerhalb des Frequenzbereichs von 23 kHz bis 37 kHz kommt es also tatsächlich zu einer Veränderung der Spektrallinie bei $f_{\rm T}$ und es entstehen neue Diraclinien bei $f_{\rm T} ± 2f_{\rm N}$, also bei 24 kHz und 36 kHz.
• Die dadurch verbundenen Verzerrungen sind somit nichtlinear   ⇒   Antwort 3 ist richtig und Antwort 4 ist falsch.