Exercise 4.2Z: Multiplication with a Sine Signal

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Spektralfunktionen $Q(f)$ und $Z(f)$

Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal $q(t)$, dessen Spektralfunktion $Q(f)$ in der oberen Grafik zu sehen ist.

Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger $z(t)$, dessen Spektrum $Z(f)$ ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal $s(t) = q(t) \cdot z(t).$

In dieser Aufgabe soll die Spektralfunktion $S(f)$ dieses Signals ermittelt werden, wobei die Lösung entweder im Zeit- oder im Frequenzbereich erfolgen kann.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Geben Sie das Quellensignal $q(t)$ in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für $t = 0$ und $t = 0.125\, \text{ms}$?

$q(t = 0)\ = \ $  $\text{V}$

$q(t = 0.125 \,\text{ms})\ = \ $ $\text{V}$

2

Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert?

$z_{max}\ = \ $

3

Berechnen Sie die Spektrum $S(f)$ getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil $\neq 0$?

	$3\ \text{kHz},$
	$4\ \text{kHz},$
	$5\ \text{kHz},$
	$6\ \text{kHz},$
	$7\ \text{kHz}.$

4

Bei welchen Frequenzen treten rein imaginäre Spektrallinien auf?

	$3\ \text{kHz},$
	$4\ \text{kHz},$
	$5\ \text{kHz},$
	$6\ \text{kHz},$
	$7\ \text{kHz}.$

Musterlösung

Solution

(1)  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen $f_1 = 1\ \text{kHz}$ und $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$ wie folgt darstellen (es gilt $f_2 = 2f_1$):

$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi f_1 t)= 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$

• Zum Zeitpunkt $t = 0$ verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.
• Dagegen erhält man für $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:

$$q(t = 0.125{\rm ms}) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( {\pi}/{2}) = \frac {4\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\sqrt{2}} - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$

(2)  Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten:

$$z(t ) = 6 \cdot {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$

Diskretes BP-Spektrum

(3)  Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält:

$$S(f) = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+ f_{\rm T}).$$

Es ergeben sich Spektrallinien bei

• $3\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$,
• $4\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
• $6\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
• $7\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$.

Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.

Linien mit reellen Gewichten bei $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$ und $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.

(4)  Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ und $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.

Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen. Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:

$$4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{12\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\sin} ( 2 \pi f_4 \hspace{0.03cm} t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\big],$$

$$-2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_2 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3 \cdot {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)= \frac{-6\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\cos} ( 2 \pi f_3 \hspace{0.03cm} t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$

Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:

• bei $+f_4$ bzw. $–f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,

• bei $+f_6$ bzw. $–f_6$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.

Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien (alle $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei $\pm f_3$ und $\pm f_7$. Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.