Exercise 5.3Z: Zero-Padding

MQF–Werte abhängig von $T_{\rm A} /T$ und $N$

Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $A =1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $T_{\rm A} = 0.01T$ bzw. $T_{\rm A} = 0.05T$ betragen soll.

Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von $N$ die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Für $T_A/T = 0.01$ sind somit stets $101$ der DFT–Koeffizienten $d(ν)$ von Null verschieden.

Davon besitzen $99$ den Wert $1$ und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich $0.5$.

Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.

Man spricht dann von „Zero–Padding”.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT zusammengefasst.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Bereits mit $N = 128$ ist $T_{\rm P} = 1.28 \cdot T$, also größer als die Breite des Rechtecks.
Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle.
Der MQF–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt.
Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass MQF (nahezu) unabhängig von $N$ ist.

(2) Aus $T_{\rm A}/T = 0.01$ folgt $f_{\rm P} \cdot T = 100$. Die Stützwerte von $X(f)$ liegen also im Bereich $–50 ≤ f \cdot T < +50$. Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:

$N = 128$: $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,
$N = 512$: $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.

(3) Richtig ist die erste Aussage:

Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für $N = 512$ ist das Produkt etwa um den Faktor 4 kleiner.
Das heißt: Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Wegen $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.
Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (etwa um den Faktor $400$) vergrößert wird.
Dieser Effekt ist auf die Zunahme des Aliasingfehlers zurückzuführen, da durch den Übergang von $T_{\rm A}/T = 0.01$ auf $T_{\rm A}/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird.
Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$ größer ist als die Impulsdauer $T$.

(5) Alle Aussagen treffen zu:

Mit den Parameterwerten $N = 64$ und $T_{\rm A}/T = 0.01$ tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf.
Alle Zeitkoeffizienten sind hier $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.

	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der MQF–Wert kleiner.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der MQF–Wert kleiner.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

	Der MQF–Wert ist hier nahezu unabhängig von $N$.
	Der MQF–Wert wird durch den Abbruchfehler bestimmt.
	Der MQF–Wert wird durch den Aliasingfehler bestimmt.

	Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt die Genauigkeit und die Dichte der DFT–Werte.
	Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ sollte möglichst groß sein.