Exercise 5.3: Mean Square Error

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Gaußimpuls, Rechteckimpuls, Spaltimpuls und einige Kenngrößen

Wir betrachten drei impulsartige Signale, nämlich

• einen Gaußimpuls mit Amplitude $A$ und äquivalenter Dauer $T$:

$$x_1(t) = A \cdot {\rm e}^{- \pi (t/T)^2} \hspace{0.05cm},$$

• einen Rechteckimpuls $x_2(t)$ mit Amplitude $A$ und Dauer $T$:

$$x_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

• einen so genannten Spaltimpuls gemäß nachfolgender Definition:

$$x_3(t) = A \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/ T) ,\hspace{0.15cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$

Die Signalparameter seien $A = 1\ {\rm V}$ und $T = 1\ {\rm ms}$. Die konventionelle Fouriertransformation führt zu folgenden Spektralfunktionen:

• $X_1(f)$ ist ebenfalls gaußförmig,
• $X_2(f)$ verläuft entsprechend der si–Funktion,
• $X_3(f)$ ist für $|f| < 1/(2 T$) konstant und außerhalb 0.

Für alle Spektralfunktionen gilt $X(f = 0) = A \cdot T$.

Ermittelt man das frequenzdiskrete Spektrum durch die Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit den DFT-Parametern

• $N = 512$   ⇒   Anzahl der berücksichtigten Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich,
• $f_{\rm A}$   ⇒   Stützstellenabstand im Frequenzbereich,

so wird dies aufgrund von Abbruch– und/oder Aliasingfehler zu Verfälschungen führen.

Die weiteren DFT–Parameter liegen mit $N$ und $f_{\rm A}$ eindeutig fest. Für diese gilt:

$$f_{\rm P} = N \cdot f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm P} = 1/f_{\rm A},\hspace{0.3cm}T_{\rm A} = T_{\rm P}/N \hspace{0.05cm}.$$

Die Genauigkeit der jeweiligen DFT–Approximation wird durch den mittleren quadratischen Fehler (MQF) erfasst:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Die sich ergebenden MQF–Werte sind in obiger Grafik angegeben für $N = 512$ sowie für

• $f_{\rm A} \cdot T = 1/4$,
• $f_{\rm A} \cdot T = 1/8$,
• $f_{\rm A} \cdot T = 1/16$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

• Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT zusammengefasst.

Fragebogen

1

Welcher Bereich $|f| \leq f_{\text{max}}$ wird mit $N = 512$ und $f_{\rm A} \cdot T = 1/8$ erfasst?

$f_{\text{max}} \cdot T\ = \ $

2

In welchem Zeitabstand $T_{\rm A}$ liegen die Abtastwerte von $x(t)$ vor?

$T_{\rm A}/T\ = \ $

3

Aufgrund welcher Effekte erhöht sich der MQF–Wert für den Gaußimpuls, wenn man $f_{\rm A} \cdot T = 1/4$ anstelle von $f_{\rm A} \cdot T = 1/8$ verwendet?

	Der Abbruchfehler wird vergrößert.
	Der Aliasingfehler wird vergrößert.

4

Aufgrund welcher Effekte erhöht sich der MQF–Wert für den Gaußimpuls, wenn man $f_{\rm A} \cdot T = 1/16$ anstelle von $f_{\rm A} \cdot T = 1/4$ verwendet?

	Der Abbruchfehler wird vergrößert.
	Der Aliasingfehler wird vergrößert.

5

Vergleichen Sie die MQF–Werte des Rechteckimpulses $x_2(t)$ mit denen des Gaußimpulses $x_1(t)$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	$\rm MQF$ wird größer, da die Spektralfunktion $X_2(f)$ asymptotisch langsamer abfällt als $X_1(f)$.
	Es dominiert der Aliasingfehler.
	Es dominiert der Abbruchfehler.

6

Vergleichen Sie die MQF–Werte des Spaltimpulses $x_3(t)$ mit denen des Gaußimpulses $x_1(t)$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	$\rm MQF$ wird größer, da die Spektralfunktion $X_3(f)$ asymptotisch langsamer abfällt als $X_1(f)$.
	Es dominiert der Aliasingfehler.
	Es dominiert der Abbruchfehler.

Musterlösung

Solution

(1)  Mit den DFT–Parametern $N = 512$ und $f_{\rm A} \cdot T = 1/8$ folgt nach Multiplikation der beiden Größen:

$$f_{\rm P} \cdot T = N \cdot (f_{\rm A} \cdot T) = 64.$$

Dadurch wird der Frequenzbereich $–f_{\rm P}/2 \leq f < f_{\rm P}/2$ erfasst:

$$f_{\rm max }\cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 32}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Periodifizierung der Zeitfunktion basiert auf dem Parameter $T_{\rm P} = 1/f_{\rm A} = 8T$. Der Abstand zweier Abtastwerte beträgt somit

$$T_{\rm A}/T = \frac{T_{\rm P}/T}{N} = \frac{8}{512}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.015625}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1   ⇒   Erhöhung des Abbruchfehlers:

• Mit dieser Maßnahme wird gleichzeitig $T_{\rm P}$ von $8T$ auf $4T$ halbiert.
• Berücksichtigt werden somit nur noch Abtastwerte im Bereich $–2T \leq t < 2T$, wodurch der Abbruchfehler (geringfügig) erhöht wird.
• Der mittlere quadratische Fehler $(\rm MQF)$ steigt dadurch beim Gaußimpuls $x_1(t)$ von $0.15 \cdot 10^{-15}$ auf $8 \cdot 10^{-15}$, obwohl der Aliasingfehler durch diese Maßnahme sogar etwas kleiner wird.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2   ⇒   Erhöhung des Aliasingfehlers:

• Durch die Halbierung von $f_{\rm A}$ wird auch $f_{\rm P}$ halbiert.
• Dadurch wird der Aliasingfehler etwas größer bei gleichzeitig kleinerem Abbruchfehler.
• Insgesamt steigt beim Gaußimpuls $x_1(t)$ der mittlere quadratische Fehler $(\rm MQF)$ von $1.5 \cdot 10^{-16}$ auf $3.3 \cdot 10^{-16}$.

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Wie aus der Grafik zu ersehen ist, trifft die letzte Aussage nicht zu im Gegensatz zu den ersten beiden.
• Aufgrund des langsamen, si–förmigen Abfalls der Spektralfunktion dominiert der Aliasingfehler.
• Der $\rm MQF$–Wert ist bei $f_{\rm A} \cdot T = 1/8$ mit $1.4 \cdot 10^{-5}$ deshalb deutlich größer als beim Gaußimpuls $(1.5 \cdot 10^{-16})$.

(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Die Spektralfunktion $X_3(f)$ hat hier einen rechteckförmigen Vorlauf, so dass die beiden ersten Aussagen nicht zutreffen.
• Dagegen ist bei dieser si–förmigen Zeitfunktion ein Abbruchfehler unvermeidbar. Dieser führt zu den angegebenen großen $\rm MQF$–Werten.