Exercise 1.8: Variable Edge Steepness

Trapez–Tiefpass und Cosinus–Rolloff–Tiefpass

Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) = 1$. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.

Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch folgende Gleichungen festgelegt:

Trapeztiefpass (TTP):

$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$

Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):

$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$

Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe

die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$, sowie
der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich):

$$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$

In der gesamten Aufgabe gelte $Δf = 10 \ \rm kHz$ und $r = 0.2$. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf = 0.1 \ \rm ms$:

$$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$

$$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Trapez–Tiefpass sowie Cosinus–Rolloff–Tiefpass.
Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über $H(f)$ gleich $f_1 + f_2$. Wegen $H(f = 0 = 1)$ stimmt somit der Lösungsvorschlag 2: $\Delta f = f_1 + f_2.$

(2) Setzt man die unter (1) gefundene Beziehung in die Definitionsgleichung des Rolloff–Faktors ein, so erhält man

$${f_2 - f_1} = r \cdot \Delta f = {2\,\rm kHz}, \hspace{0.5cm} {f_2 + f_1} = {10\,\rm kHz}.$$

Durch Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen ergeben sich die so genannten „Eckfrequenzen” zu $f_1 \underline{= 4 \ \rm kHz}$ und $f_2 \underline{= 6 \ \rm kHz}$.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Die erste $\rm si$–Funktion von $h_{\rm TTP}(t)$ führt zu Nullstellen im Abstand $\Delta t$ (siehe auch Gleichung auf der Angabenseite).
Die zweite $\rm si$–Funktion bewirkt Nullstellen bei Vielfachen von $5 · \Delta t$.
Da diese exakt mit den Nullstellen der ersten$\rm si$–Funktion zusammenfallen, gibt es keine zusätzlichen Nullstellen.
Der Sonderfall $r = 0$ entspricht dem idealen rechteckförmigen Tiefpass mit $\rm si$–förmiger Impulsantwort. Diese klingt extrem langsam ab.
Die $\rm si^2$–förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses (Sonderfall für $r = 1$) fällt asymptotisch mit $1/t^2$, also schneller als mit $r = 0.2$.

(4) Richtig sind hier die Vorschläge 1, 2 und 4:

Die Impulsantwort $h_{\rm CRTP}(t)$ des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses weist aufgrund der si–Funktion ebenfalls Nullstellen im Abstand $\Delta t$ auf.
Die Cosinusfunktion hat Nullstellen zu folgenden Zeitpunkten:

$${\cos(\pi \cdot r \cdot {t}/{ \Delta t} )} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}r \cdot {t}/{ \Delta t} = \pm 0.5, \pm 1.5, \pm 2.5, \text{...} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {t}/{ \Delta t} = \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 12.5, ... $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {t}/{ \Delta t} = \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 12.5, \text{...}. $$

Die Nullstelle des Zählers bei $t / \Delta t = 2.5$ wird allerdings durch den ebenfalls verschwindenden Nenner zunichte gemacht.
Die weiteren Nullstellen bei $7.5, 12.5,\text{...} $ bleiben dagegen bestehen.
Auch hier führt $r = 0$ zum Rechtecktiefpass und damit zur $\rm si$–förmigen Impulsantwort.
Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses (Sonderfall für $r = 1$) extrem schnell ab.
Dieser wird in der Aufgabe 1.8Z eingehend untersucht.

	$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
	$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
	Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
	Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

	$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
	$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
	Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
	Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

	$Δf = f_2 - f_1$,
	$Δf = f_1 + f_2$,
	$Δf = (f_2 + f_1)/2$.