Exercise 2.3: Sinusoidal Characteristic

Sinusförmige Kennlinie

Wie betrachten ein System mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$. Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.

Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y(t)$ ist im Bereich zwischen $-\pi/2$ und $+\pi/2$ durch die folgende Kennlinie gegeben.

$$g(x) = \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.05cm}\text{...}$$

Der zweite Teil dieser Gleichung beschreibt dabei die Reihenentwicklung der Sinusfunktion. Als Näherungen für die nichtlineare Kennlinie werden in dieser Aufgabe verwendet:

$$g_1(x) = x\hspace{0.05cm},$$

$$ g_3(x) = x- x^{3}\hspace{-0.1cm}/6\hspace{0.05cm},$$

$$g_5(x) = x- x^3\hspace{-0.1cm}/{6}+x^5\hspace{-0.1cm}/{120}\hspace{0.05cm}.$$

Es wird stets das Eingangssignal $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ vorausgesetzt, wobei für die (dimensionslose) Signalamplitude die Werte $A = 0.5$, $A = 1.0$ und $A = 1.5$ zu betrachten sind.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Nichtlineare Verzerrungen.
Die sich ergebenden Signalverläufe für $x(t)$ und $y(t)$ sind im Beispiel auf der Seite Beschreibung nichtlinearer Systeme grafisch dargestellt.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$
Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

$$\cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}, $$

$$ \cos^5(\alpha) = {10}/{16} \cdot \cos(\alpha) + {5}/{16} \cdot \cos(3\alpha) + {1}/{16} \cdot \cos(5\alpha)\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$K \ = \ $

$\ \%$

$A = 0.5\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $

$\ \%$

$A = 1.0\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $

$\ \%$

$K \ = \ $

$\ \%$

	$K_{\rm g5}$ stellt im Allgemeinen eine bessere Näherung für $K$ dar als $K_{\rm g3}$.
	Für $A = 1.0$ ist $K_{\rm g3}$ kleiner als $K_{\rm g5}$.
	Für $A = 0.5$ wird $K_{\rm g3} \approx K_{\rm g5}$ gelten.

Musterlösung

Solution

(1) Die sehr ungenaue Näherung $g_1(x) = x$ ist linear in $x$ und führt deshalb auch nicht zu nichtlinearen Verzerrungen. Damit ergibt sich für den Klirrfaktor $\underline{K = 0}$.

(2) Das analytische Spektrum (nur positive Frequenzen) des Eingangssignals lautet:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm \delta}(f- f_0) .$$

Am Ausgang der nichtlinearen Kennlinie $g_3(x)$ liegt dann folgendes Signal an:

$$y(t) = A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}^3(\omega_0 t )= A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{3}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(\omega_0 t )- \frac{1}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ).$$

Für die Koeffizienten $A_1$ und $A_3$ erhält man durch Koeffizientenvergleich:

$$A_1 = A - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8}, \hspace{0.5cm}A_3 = - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24}.$$

Mit $A = 0.5$ ergibt sich $A_1 \approx 0.484$ und $A_3 \approx 0.005$. Somit lautet der Klirrfaktor:

$$K = K_3 ={|A_3|}/{A_1}= {0.005}/{0.484} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1.08\%}.$$

Anzumerken ist, dass bei der Näherung $g_3(x)$ nur der kubische Anteil $K_3$ des Klirrfaktors wirksam ist.

Für $A = 1.0$ und $A = 1.5$ ergeben sich folgende Zahlenwerte:

$$A = 1.0: A_1 \approx 0.875, \hspace{0.2cm} A_3 \approx -0.041\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{K \approx 4.76\%}\; \; \Rightarrow \; \; K_{g3},$$

$$A = 1.5: A_1 \approx 1.078, \hspace{0.2cm} A_3 \approx -0.140\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}{K \approx 13 \%}.$$

(3) In ähnlicher Weise wie beim Unterpunkt (2) gilt nun

$$y(t) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t )+ A_5 \cdot {\rm cos}(5\omega_0 t )$$

mit folgenden Koeffizienten:

$$A_1 = A - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{192},\hspace{0.3cm} A_3 = - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{384},\hspace{0.3cm} A_5 = {A^5}\hspace{-0.1cm}/{1920}.$$

Daraus ergeben sich mit $A=1$ die Zahlenwerte:

$$A_1 \approx 1 -0.125 +0.005 = 0.880,\hspace{0.3cm} A_3 \approx -0.042 +0.003 = -0.039,\hspace{0.3cm} A_5 \approx 0.0005$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_3 = {|A_3|}/{A_1}= 0.0443,\hspace{0.3cm}K_5 = {|A_5|}/{A_1}= 0.0006 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{K_3^2 + K_5^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.45\%} \; \; \Rightarrow \; \; K_{g5}.$$

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Der Ansatz $g_5(x)$ ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion $g(x)$ als die Näherung $g_3(x)$.
Deshalb ist der in der Teilaufgabe (3) berechnete Wert $K_{g5}$ eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als $K_{g3}$ – die erste Aussage ist somit richtig.
Dagegen ist die zweite Aussage falsch, wie schon die Berechnung für $A=1$ gezeigt hat, ist $K_{g3} \approx 4.76 \%$ ist größer als $K_{g5} \approx 4.45 \%$. Der Grund hierfür ist, dass $g_3(x)$ unterhalb von $g_5(x)$ liegt und damit auch eine größere Abweichung vom linearen Verlauf vorliegt.
Für $A=0.5$ wird $K_{g5} \approx K_{g5} = 1.08 \%$gelten. Schon die Kennlinie auf der Angabenseite zeigt, dass für $|x| \le 0.5$ die beiden Funktionen $g_3(x)$ und $g_5(x)$ innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind. Damit ergeben sich auch gleiche Klirrfaktoren.