Exercise 4.4Z: Supplement to Exercise 4.4

Hamming–Gewichte und Sequenzwahrscheinlichkeiten

Der Informationstheoretiker Robert G. Gallager hat sich bereits 1963 mit folgender Fragestellung beschäftigt:

Gegeben ist ein Zufallsvektor $\underline{x} = (x_1, \, x_2, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm} , x_n)$ mit $n$ binären Elementen $x_i ∈ \{0, \, 1\}$.
Bekannt sind alle Wahrscheinlichkeiten $p_i = {\rm Pr}(x_i = 1)$ und $q_i = {\rm Pr}(x_i = 0) = 1 - p_i$ mit Index $i = 1, \hspace{-0.04cm}\text{ ...} \hspace{0.08cm} ,\ n$.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Einsen in diesem Vektor geradzahlig ist.
Oder ausgedrückt mit dem Hamming–Gewicht: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$?

Die Grafik verdeutlicht die Aufgabenstellung für das Beispiel $n = 4$ sowie $p_1 = 0.2$, $p_2 = 0.9$, $p_3 = 0.3$ und $p_4 = 0.6$.

Für die grün hinterlegte Zeile ⇒ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$ gilt $w_{\rm H}(\underline{x}) = 2$ und

$${\rm Pr}(\underline{x}) = p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot p_4 = 0.0084.$$

Blaue Schrift bedeutet „$w_{\rm H}(\underline{x})$ ist gerade”. Rote Schrift steht für „$w_{\rm H}(\underline{x})$ ist ungerade”.
Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$ ist die Summe der blauen Zahlen in der letzten Spalte.
Die Summe der roten Zahlen ergibt ${\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ ungerade}] = 1 - {\rm Pr}[w_{\rm H}(\underline{x}) {\rm \ ist \ gerade}]$.

Gallager hat das Problem in analytischer Weise gelöst:

$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \right ] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1/2 \cdot [1 + \pi]\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \right ] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1/2 \cdot [1 - \pi]\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist die folgende Hilfsgröße verwendet:

$$\pi = \prod\limits_{i =1}^{n} \hspace{0.25cm}(1-2p_i) \hspace{0.05cm}.$$

Die Gleichung wendet man zum Beispiel an, um die extrinsischen $L$–Werte eines Single Parity–check Codes zu berechnen.

Wie bereits in der Aufgabe A4.4 dargelegt, lautet nämlich der extrinsische $L$–Wert mit dem Hamming–Gewicht $w_{\rm H}$ der verkürzten Folge $\underline{x}^{(-i)}$:

$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass man für $L_{\rm E}(i)$ nur die anderen Symbole $(j ≠ i)$ heranziehen darf:

$$\underline{x}^{(-i)} = \big ( \hspace{0.03cm}x_1, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm} , \hspace{0.03cm} x_{i-1}, \hspace{0.43cm} x_{i+1}, \hspace{-0.04cm} \text{ ...} \hspace{0.08cm} , x_{n} \hspace{0.03cm} \big )\hspace{0.03cm}. $$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Soft–in Soft–out Decoder.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Zur Berechnung der extrinsischen L–Werte.
Die Aufgabe ist als Ergänzung zur Aufgabe 4.4 gedacht.

Fragebogen

${\rm Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}\big ] \ = \ $

${\rm Pr(blau) = Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ gerade}\big ] \hspace{0.33cm} = \ $

${\rm Pr(rot) = Pr}\big [w_{\rm H}(\underline{x}) \ {\rm ist \ ungerade}\big ] \hspace{0.1cm} = \ $

$\text{Quotient }Q = {\rm Pr(blau)/Pr(rot)} \hspace{0.4cm} = \ $

$L_{\rm E}(i = 5) \ = \ $

	$L_{\rm E}(i = 5)$ wird größer.
	$L_{\rm E}(i = 5)$ wird kleiner.
	$L_{\rm E}(i = 5)$ wird gegenüber Teilaufgabe (4) nicht verändert.

Musterlösung

Solution

Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für die Codelänge $n = 2$

(1) Entsprechend der nebenstehenden Tabelle gilt:

$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.10cm}{\rm ist \hspace{0.10cm} gerade}\right ] = {\rm Pr} \left [w_{\rm H} = 0 \right] + {\rm Pr} \left [w_{\rm H} = 2 \right] \hspace{0.05cm}. $$

Mit den Wahrscheinlichkeiten

$$p_1 = {\rm Pr} (x_1 = 1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}q_1 = {\rm Pr} (x_1 = 0) = 0.8\hspace{0.05cm},$$

$$p_2 = {\rm Pr} (x_2 = 1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.9\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}q_2 = {\rm Pr} (x_2 = 0) = 0.1$$

erhält man:

$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}) = 0\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr} \left [(x_1 = 0)\cap (x_2 = 0) \right] = q_1 \cdot q_2 = 0.8 \cdot 0.1 = 0.08 \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}) = 2\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr} \left [(x_1 = 1)\cap (x_2 = 1) \right] = p_1 \cdot p_2 = 0.2 \cdot 0.9 = 0.18$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] = 0.8 + 0.18 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.26} \hspace{0.05cm}.$$

Die Gallager–Gleichung liefert für den gleichen Parametersatz:

$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 + 0.5 \cdot \prod\limits_{i =1}^{2} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) = 0.5 + 0.5 \cdot (1 - 2 \cdot 0.2)\cdot (1 - 2 \cdot 0.9) = 0.26 \hspace{0.05cm}.$$

Die von Gallager 1963 angegebene Gleichung wurde hiermit für $n = 2$ verifiziert.

Herleitung „$w_{\rm H}$ ist gerade” für die Codelänge $n = 3$

(2) In der zweiten Tabelle sind die vier Kombinationen mit einer geraden Anzahl an Einsen blau markiert. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen sind in der letzten Spalte angegeben. Somit ergibt sich hier:

$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] = 0.056 + 0.216 + 0.006 + 0.126 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.404} \hspace{0.05cm}.$$

Die roten Zeilen liefern das Komplementärereignis:

$$ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right] = 0.024 + 0.504 + 0.014 + 0.054= 0.596 \hspace{0.05cm}.$$

Die Gallager–Gleichung liefert auch hier wieder das exakt gleiche Ergebnis, wobei anzumerken ist, dass diese Gleichung für alle $n$ und alle beliebigen Wahrscheinlichkeiten gültig ist:

$${\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 + 0.5 \cdot \prod\limits_{i =1}^{3} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) $$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 + 0.5 \cdot (+0.6) \cdot (-0.8) \cdot (+0.4) = 0.404 \hspace{0.05cm}.$$

(3) Entsprechend der Angabenseite gilt:

$$\pi = \prod\limits_{i =1}^{4} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (1 - 2 \cdot 0.2) \cdot (1 - 2 \cdot 0.9) \cdot (1 - 2 \cdot 0.3) \cdot (1 - 2 \cdot 0.6) $$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\pi = \prod\limits_{i =1}^{4} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_i) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(+0.6) \cdot (-0.8) \cdot (+0.4) \cdot (-0.2) = 0.0384 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus lassen sich berechnen:

$${\rm Pr}({\rm blau}) = {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 + 0.5 \cdot \pi = 0.5 + 0.5 \cdot 0.0384\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5192}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}({\rm rot}) = {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0.5 - 0.5 \cdot \pi = 0.5 - 0.5 \cdot 0.0384\hspace{0.15cm} \underline{= 0.4808}\hspace{0.05cm}. $$

Addiert man die blauen bzw. die roten Wahrscheinlichkeiten auf der Angabenseite, so erhält man exakt die hier berechneten Werte. Für den Quotienten ergibt sich:

$$Q = \frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade}\right]} { {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}\right]} = \frac{0.5192}{0.4808}\hspace{0.15cm} \underline{= 1.0799} \hspace{0.05cm}. $$

(4) Für den Single Parity–check Code wurde der extrinsische $L$–Wert bezüglich des $i$–ten Bits wie folgt angegeben:

$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.15cm}\frac{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{{\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]} \hspace{0.05cm},$$

oder:

$$L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.15cm}\frac{1+\prod_{j \ne i} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_j)}{1-\prod_{j \ne i} \hspace{0.25cm}(1-2\cdot p_j)} \hspace{0.05cm}.$$

Beim SPC (5, 4, 2) ⇒ $n = 5$ ergibt sich dieses Produkt für $i = 5$ aus folgenden vier Multiplikanden:

$$\pi = \prod\limits_{j = 1, \hspace{0.05cm}2, \hspace{0.05cm}3, \hspace{0.05cm}4} \hspace{0.05cm}(1-2\cdot p_j) = (1-2\cdot p_1) \cdot (1-2\cdot p_2) \cdot (1-2\cdot p_3) \cdot (1-2\cdot p_4) \hspace{0.05cm}.$$

Der Vergleich mit der Teilaufgabe (3) zeigt, dass $L_{\rm E}(i = 5) = \ln {Q} = \ln {(1.0799)} \ \underline{\approx 0.077}$ ist.

(5) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3, weil das Ergebnis für $L_{\rm E}(i = 5)$ unabhängig von $p_5$ ist.