Exercise 1.6: Transition Probabilities
Rechts sehen Sie 20 Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$:
- Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn ($ν = 0$) das Ereignis $A$ überwiegt.
- Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ auf.
Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:
- $${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$
Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.
- Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
- $${\rm Pr}(A_\text{v=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}$, ${\rm Pr}(A_\text{v=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}$ ${\rm Pr}(A_\text{v=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.840}.$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Nach $A$ folgt $B$ sehr viel häufiger als $A$, das heißt, es wird sicher ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ sein.
- Alle vier Übergänge zwischen den zwei Ereignissen $A$ und $B$ sind möglich. Daraus folgt weiter, dass alle vier Übergangswahrscheinlichkeiten ungleich $0$ sein werden.
- Wegen ${\rm Pr}(B_\text{v=0}) \ne 0$ und ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$ kann natürlich auch die Folge „$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}...$” erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
(3) Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit der Abkürzung ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_\text{v=0})$ usw.:
- $${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
- $${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
- $$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
- $$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
Multipliziert man die erste Gleichung mit $6$ und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
- $$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind: $${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$
(4) Dieser Fall ist nur dann möglich, wenn die Markovkette mit $B$ beginnt und danach neunmal ein Übergang von $B$ nach $B$ stattfindet:
- $${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
(5) Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$ ausgegangen werden und man erhält:
- $${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \% }.$$
