Exercise 3.2: Spectrum with Angle Modulation
Es wird hier von folgenden Gleichungen ausgegangen:
- Quellensignal:
- $$q(t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm},$$
- Sendesignal:
- $$s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + K_{\rm M} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
- Empfangssignal (idealer Kanal:
- $$r(t) = s(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos\hspace{-0.1cm}\big[2 \pi \cdot 100\,{\rm kHz} \cdot t + \phi(t)\big ]\hspace{0.05cm},$$
- idealer Demodulator:
- $$ v(t) = \frac{1}{ K_{\rm M}} \cdot \phi(t)\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Besselfunktionen erster Art und n-ter Ordnung in tabellarischer Form.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Spektralfunktion eines phasenmodulierten Sinussignals sowie Interpretation des Besselspektrums.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Eine Winkelmodulation (PM, FM) führt bei bandbegrenztem Kanal stets zu nichtlinearen Verzerrungen. Bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation (ZSB-AM) ist hier dagegen bereits mit $B_{\rm K} = 6 \ \rm kHz$ eine verzerrungsfreie Übertragung möglich ⇒ Antwort 1.
(3) Der Modulationsindex (oder Phasenhub) ist bei Phasenmodulation gleich $η = K_{\rm M} · A_{\rm N}$. Somit ist die Modulatorkonstante $K_{\rm M} = 1/A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 \rm \cdot {1}/{V}}$ zu wählen, damit sich $η = 1$ ergibt.
(4) Es liegt ein sogenanntes Besselspektrum vor:
- $$ S_{\rm TP}(f) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$
Dieses ist ein diskretes Spektrum mit Anteilen bei $f = n · f_{\rm N}$, wobei $n$ ganzzahlig ist. Die Gewichte der Diracfunktionen sind durch die Besselfunktionen gegeben. Mit $A_{\rm T} = 1\ \rm V$ erhält man:
- $$ S_{\rm TP}(f = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_0 (\eta = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.765\,{\rm V}},$$
- $$ S_{\rm TP}(f = f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_1 (\eta = 1)\hspace{0.15cm} = 0.440\,{\rm V},$$
- $$ S_{\rm TP}(f = 2 \cdot f_{\rm N}) = A_{\rm T} \cdot {\rm J}_2 (\eta = 1) = 0.115\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
Aufgrund der Symmetrie ${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$ erhält man für die Spektrallinie bei $f = -3 \ \rm kHz$:
- $$S_{\rm TP}(f = -f_{\rm N}) = -S_{\rm TP}(f = +f_{\rm N}) =\hspace{-0.01cm}\underline { -0.440\,{\rm V} \hspace{0.05cm}}.$$
Anmerkung: Eigentlich müsste man für den Spektralwert bei $f = 0$ schreiben:
- $$S_{\rm TP}(f = 0) = 0.765\,{\rm V} \cdot \delta (f) \hspace{0.05cm}.$$
Dieser ist somit aufgrund der Diracfunktion unendlich groß, lediglich das Gewicht der Diracfunktion ist endlich. Gleiches gilt für alle diskreten Spektrallinien.
(5) $S_+(f)$ ergibt sich aus $S_{\rm TP}(f)$ durch Verschiebung um $f_{\rm T}$ nach rechts. Deshalb ist
- $$S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) = S_{\rm TP}(f = -3\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.440\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
Das tatsächliche Spektrum unterscheidet sich von $S_+(f)$ bei positiven Frequenzen um den Faktor $1/2$:
- $$S(f = 97\,{\rm kHz}) = {1}/{2} \cdot S_{\rm +}(f = 97\,{\rm kHz}) \hspace{0.15cm}\underline {=-0.220\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
Allgemein kann geschrieben werden:
- $$ S(f) = \frac{A_{\rm T}}{2} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot \delta (f \pm (f_{\rm T}+ n \cdot f_{\rm N}))\hspace{0.05cm}.$$
(6) Unter der vorgeschlagenen Vernachlässigung können alle Bessellinien ${\rm J}_{|n|>3}$ außer Acht gelassen werden. Damit erhält man $B_{\rm K} = 2 · 3 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 18 \ \rm kHz}$.
(7) Die Zahlenwerte in der Tabelle auf der Angabenseite zeigen, dass nun folgende Kanalbandbreiten erforderlich wären:
- für $η = 2$: $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 24 \ \rm kHz}$,
- für $η = 3$: $B_{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline { = 36 \ \rm kHz}$
