Exercise 4.5Z: Impulse Response once again

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Impulsantwort eines Koaxialkabels (Darstellung mit bzw. ohne Laufzeit)

Wir betrachten wieder wie in der  Aufgabe 4.5  ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate  $R$  und der Symboldauer  $T= 1/R$.

Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) der Länge  $l = 1 \ \rm km$  mit folgendem Frequenzgang verwendet:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l} = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$

Die Teilfrequenzgänge  $H_1(f)$,  $H_2(f)$  und  $H_3(f)$  dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:

$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$

$$\beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort  $h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$, wobei  $t\hspace{0.03cm}' = t/T$  die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit  $\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T$  kann  $h_{\rm K}(t\hspace{0.03cm}')$  wie folgt geschrieben werden:

$$h_{\rm K}(t') = \frac {1}{T} \cdot \frac {a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {a_\rm \star^2}{ {2\pi \hspace{0.05cm}t'}} \right ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

• Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts  $H_2(f) \cdot H_3(f)$  an.
• Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Eigenschaften von Koaxialkabeln.

• Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet  Zeitverhalten von Kupferkabeln  benutzen.
• In der  Aufgabe 4.5  wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:

$${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big ] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{a}_{\rm \star}^2} \approx \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Welcher Teilfrequenzgang ist für die Phasenlaufzeit  $\tau$  verantwortlich?

	$H_1(f)$,
	$H_2(f)$,
	$H_3(f)$.

2

Bestimmen Sie die Bitrate des Binärsystems, wenn  $\tau\hspace{0.03cm}' = \tau/T = 694$  beträgt.

$R \ = \ $ $\ \rm Mbit/s$

3

Geben Sie die charakteristische Kabeldämpfung  ${a}_{\rm \star}$  zur gemeinsamen Beschreibung der Frequenzgänge  $H_2(f)$  und  $H_3(f)$  an.

${a}_{\rm \star} \ = \ $ $\ \rm Np$

4

Bestimmen Sie den (normierten) Maximalwert der Impulsantwort.

${\rm Max}\, \big[T \cdot h_{\rm K}(t)\big] \ = \ $

5

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Verzerrungen werden ohne  $H_1(f)$  richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne  $H_2(f)$  richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne  $H_3(f)$  richtig wiedergegeben.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist nur die Aussage 1:

• Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet ${\rm e}^{-{\rm j} 2 \pi f \tau}$.
• Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass $H_1(f)$ genau diesem Ansatz genügt.

(2)  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} = \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} = 34.7\,{\rm µ s}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '= {\tau}/{T} = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm} T = \frac {34.7\,{\rm µ s}}{700} \approx 0.05\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm}.$$

Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: $\underline{R = 20 \ \rm Mbit/s}$.

(3)  Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:

$${a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

Der entsprechende dB–Wert ist ${a}_{\rm \star} = 75 \ \rm dB$.

(4)  Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich:

$${\rm Max}\, [T \cdot h_{\rm K}(t)] \approx \frac {1.453 }{{a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig ist nur die Aussage 1:   $H_1(f)$ beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat.

Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf $H_2(f)$ oder $H_3(f)$ verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:

• Die Impulsantwort $h_2(t)$ als die Fourierrücktransformierte von $H_2(f)$ ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei $t = 0$ und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.
• Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von $H_3(f)$ eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei $t = 0$.
• Für $t > 0$ fällt $h_3(t)$ ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten $t$ gilt $h_3(t) = - h_3(|t|)$.
• Erst die Faltung $h_2(t) \star h_3(t)$ liefert die kausale Impulsantwort, allerdings ohne die Phasenlaufzeit $\tau$, die durch $H_1(f)$ berücksichtigt wird.