Exercise 2.6Z: Magnitude and Phase

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Zu analysierendes Signal  $x(t)$

Es soll der Zusammenhang aufgezeigt werden zwischen

• den reellen Fourierkoeffizienten  $A_n$  und  $B_n$,

• den komplexen Koeffizienten  $D_n$, sowie

• den Betrags– bzw. Phasenkoeffizienten  $(C_n$,  $\varphi_n)$.

Dazu betrachten wir das periodische Signal

$$x(t)=1{\rm V+2V}\cdot\cos(\omega_0 t) +{\rm 2V}\cdot\cos(2\omega_0 t)- \ {\rm 1V}\cdot\sin(2\omega_0 t)-{\rm 1V}\cdot\sin(3\omega_0 t).$$

Dieses Signal ist in der Grafik im Bereich von  $–2T_0$  bis  $+2T_0$  dargestellt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Fourierreihe.
• Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten,

Eigenschaften der Fourierreihendarstellung.

Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $A_0$,  $D_0$,  $C_0$ und  $\varphi_0$?

$A_0\ = \ $  $\text{V}$

$D_0\ = \ $  $\text{V}$

$C_0\ = \ $  $\text{V}$

$\varphi_0\ = \ $  $\text{Grad}$

2

Welche der Cosinus– und Sinuskoeffizienten sind ungleich Null?

	$\ A_1$,
	$\ B_1$,
	$\ A_2$,
	$\ B_2$,
	$\ A_3$,
	$\ B_3$.

3

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $\varphi_1$,  $C_1$  und  $D_1$?

$\varphi_1\ = \ $  $\text{Grad}$

$C_1\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Re}[D_1]\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}[D_1] \ = \ $  $\text{V}$

4

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $\varphi_2$,  $C_2$  und  $D_2$?

$\varphi_2\ = \ $  $\text{Grad}$

$C_2\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Re}[D_2]\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}[D_2]\ = \ $  $\text{V}$

5

Welche Werte besitzen die Koeffizienten  $\varphi_3$  und  $C_3$?

$\varphi_3\ = \ $  $\text{Grad}$

$C_3\ = \ $  $\text{V}$

6

Wie groß ist der komplexe Fourierkoeffizient  $D_\text{–3}$?

$\text{Re}[D_{-3}]\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}[D_{-3}]\ = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

(1)  Der Gleichsignalkoeffizient beträgt $A_0 = 1\,{\rm V}$. Gleichzeitig gilt $C_0 = D_0 = A_0 \hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm} C_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 1\,{\rm V}}, \varphi_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.

(2)  Richtig sind die Antworten 1, 3, 4 und 6:

• Es gibt keine Anteile mit $\sin(\omega_0t)$ und $\cos(3\omega_0t)$.
• Daraus folgt direkt $B_1 = A_3 = 0$.
• Alle anderen hier aufgeführten Koeffizienten sind ungleich Null.

(3)  Allgemein gilt:

$$\varphi_n=\arctan\left({B_n}/{A_n}\right),\hspace{0.5cm}C_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},\hspace{0.5cm}D_n={1}/{2} \cdot (A_n-{\rm j}\cdot B_n).$$

Wegen $B_1 = 0$ erhält man $\varphi_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}, C_1 = A_1 \hspace{0.1cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}$ und $D_1 = A_1/2 \hspace{0.1cm}\underline{= 1 \,{\rm V}}$.

(4)  Mit $A_2 = 2\,{\rm V}$ und $B_2 = -1\,{\rm V}$ erhält man:

$$\varphi_2=\arctan(-0.5)\hspace{0.15cm}\underline{=-26.56^{\circ}},\hspace{0.5cm}C_2=\sqrt{A_2^2+B_2^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.236 \; \rm V},$$

$$D_2={1}/{2} \cdot (A_2-{\rm j}\cdot B_2)=1\;\rm V+{\rm j}\cdot 0.5\, {\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \,{\rm V}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5\, {\rm V}} .$$

(5)  Es ist $\varphi_3 \hspace{0.15cm}\underline{=\hspace{0.1cm}-90^{\circ}}$ und $C_3 = |B_3| \hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \,{\rm V}}$.

(6)  Es gilt $D_3 = -{\rm j} · B_3/2 ={\rm j}· 0.5 \,{\rm V}$ und $D_\text{–3} = D_3^{\star} ={\rm j}· B_3/2 = {- {\rm j} · 0.5 \,{\rm V}}$.

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \text{Re}[D_{-3}]\hspace{0.15cm}\underline{=0}, \hspace{0.5cm}\text{Im}[D_{-3}]\hspace{0.15cm}\underline{=\hspace{0.1cm}- 0.5 \,{\rm V}}.$$