Exercise 1.4Z: Sum of Ternary Quantities

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Summe zweier Ternärgrößen $x$ und $y$

Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen

$$x ∈ {–2, \ 0, +2},$$

$$y ∈ {–1, \ 0, +1}.$$

Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.

Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann: 

$$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positv ist:

${\rm Pr}(s>0) \ = \ $

2

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Eingangsgröße $x$ als auch die Summe $s$ positiv sind:

${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ = \ $

3

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Eingangsgröße $x > 0$ ist, wenn $s > 0$ gilt:

${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ = \ $

4

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $s$ positiv ist, wenn die Eingangsgröße $x >$ 0 ist:

${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ = \ $

Musterlösung

Solution

Ternärgrößen im Venndiagramm

In nebenstehender Grafik sind

• die drei zum Ereignis $„x > 0“$ gehörenden Felder violett umrandet,
• die Felder für $„s > 0“$ gelb hinterlegt.

Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.

(1)  Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:

$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$

(2)  Hier gilt folgender Sachverhalt:

$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) \big ] = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$

(3)  Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (2) folgt:

$$\rm Pr \big[(\it x > \rm 0) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} (\it s > \rm 0)\big] = \frac{{\rm Pr} [(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$

(4)  Analog zur Teilaufgabe (3) gilt nun:

$$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr \big[(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0) \big]}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$