Exercise 3.3: Moments for Cosine-square PDF

Cosinus–Quadrat–WDF
und eine ähnliche WDF

Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:

$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$, die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:

$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$

Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ bzw. $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ bzw. $f_y(y) = 0$.
Beide Zufallsgrößen können als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.

Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:

$$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$

Fragebogen

	$m_2 = 0$, falls $m_1 \ne 0$.
	$m_2 = 0$, falls $m_1 = 0$.
	$m_1 = 0$, falls $m_2 = 0$.
	$m_2 > \sigma^2$, falls $m_1 \ne 0$.
	$m_1 = 0$, falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
	$f_x(-x) = f_x(x)$, falls $m_1 = 0$.

$m_x \ = \ $

$\sigma_x \ = \ $

	$y = 1+x/2.$
	$y = 2x.$
	$y = x/2-1.$

$m_y\ = \ $

$\sigma_y\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5:

Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist.
Die zweite Aussage gilt nur im Sonderfall $x = 0$.

Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF.

Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.

(2) Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich $x = 0$ ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.

(3) Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$.

Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert.
Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$ folgt daraus:

$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$

(4) Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:

Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern.
Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$.

(5) Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss.

(6) Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung.

Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:

$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$