Exercise 4.8Z: AWGN Channel

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Modell des AWGN-Kanals

Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.

• Der Effektivwert $\sigma_s$ dieses mittelwertfreien Signals beträgt $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
• Diese Größe bezeichnet man auch als die Streuung.

Bei der Übertragung wird $s(t)$ von einem Störsignal $n(t)$ additiv überlagert, das ebenso wie $s(t)$ als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.

• Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein $\sigma_n$.
• Es kann angenommen werden, dass zwischen Nutzsignal $s(t)$ und Störsignal $n(t)$ keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.

Man bezeichnet eine solche Konstellation als Additive White Gaussian Noise (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal $r(t)$ das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis (Signal-to-Noise-Ratio):

$${\rm SNR} = {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Geben Sie die WDF $f_r(r)$ des Empfangssignals $r(t)$ allgemein an.
Wie groß ist der Effektivwert $\sigma_r$, wenn $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ beträgt?

$\sigma_r \ = \ $ $ \ \rm V$

2

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$, der zwischen den beiden Signalen $s(t)$ und $r(t)$ besteht.
Welcher Wert ergibt sich für $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?

$\rho_{sr} \ = \ $

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{sr}$ abhängig vom SNR des AWGN-Kanals. Leiten Sie eine Näherung für großes SNR ab.
Welcher Koeffizient ergibt sich für $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?

$\rho_{sr} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Es gilt $r(t) = s(t)+n(t)$. Somit kann $f_r(r)$ aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$ und $f_n(n)$ berechnet werden.

• Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion:

$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$

• Die Varianzen von $s(t)$ und $n(t)$ addieren sich. Deshalb erhält man mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:

$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$

(2)  Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment $m_{sr}$:

$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$

• Hierbei ist berücksichtigt, dass $s(t)$ und auch $r(t)$ mittelwertfrei sind, so dass $\mu_{sr} =m_{sr}$ gilt.
• Da $s(t)$ und $n(t)$ als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter:

$$m_{sr} = {\rm E}\big[s(t) \cdot r(t)\big] = {\rm E}\big[s^2(t)\big] + {\rm E}\big[s(t) \cdot n(t)\big] ={\rm E}\big[s^2(t)\big] = \sigma_s^2.$$

$$\rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{ \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$

• Mit $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$, $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ erhält man $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.

(3)  Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$ wie folgt dargestellt werden:

$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$

• Der Signal-zu-Stör-Abstand $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$ führt zum absoluten Wert $\rm SNR = 1000$.
• In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.