Exercise 2.10: Shannon-Fano Coding

Baumdiagramm der Shannon–Fano–Codierung

Ein weiterer Algorithmus zur Entropiecodierung wurde 1949 von Claude Elwood Shannon und Fano angegeben, der im Theorieteil angegeben ist.

Diese spezielle Art von Quellencodierung soll hier an einem einfachen Beispiel für den Symbolumfang $M = 4$ und die folgenden Symbolwahrscheinlichkeiten beschrieben werden:

$$p_{\rm A} = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B}= 0.3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm C}= 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm D}= 0.1 \hspace{0.05cm}. $$

Die Grafik zeigt das dazugehörige Baumdiagramm. Man geht folgendermaßen vor:

1. Man ordnet die Symbole nach fallender Auftrittswahrscheinlichkeit, hier $\rm C$ – $\rm B$ – $\rm A$ – $\rm D$.

2. Man teilt die Symbole in zwei etwa gleichwahrscheinliche Gruppen ein, hier $\rm C$ und $\rm BAD$.

3. Der unwahrscheinlicheren Gruppe wird das Binärsymbol 0, der anderen die 1 zugeordnet.

4. Sind in einer Gruppe mehr als ein Zeichen, so ist der Algorithmus rekursiv anzuwenden.

Für dieses Beispiel ergibt sich die folgende Codezuordnung (im Baumdiagramm markiert eine rote Verbindung eine 1 und eine blaue eine 0:

$\rm A$ → 111, $\rm B$ → 10, $\rm C$ → 0, $\rm D$ → 110.

Damit ergibt sich für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M} = 0.4 \cdot 1 + 0.3 \cdot 2 + (0.2 + 0.1) \cdot 3 = 1.9\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

Der Huffman-Algorithmus würde hier zwar einen geringfügig anderen Code erzeugen, aber auch bei diesem würde $\rm C$ mit einem Bit, $\rm B$ mit zwei Bit und $\rm A$ und $\rm D$ mit jeweils drei Bit codiert. Damit ergäbe sich ebenfalls $L_{\rm M} = 1.9 \ \rm bit/Quellensymbol$.

In dieser Aufgabe sollen Sie den Shannon–Fano–Code für $M = 8$ und die Wahrscheinlichkeiten

$$p_{\rm A} = 0.10 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B}= 0.40 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm C}= 0.02 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm D}= 0.14 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm E} = 0.17 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm F}= 0.03 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm G}= 0.05 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm H}= 0.09$$

ermitteln. Sie werden erkennen, dass sich mit diesen Wahrscheinlichkeiten „Shannon–Fano” auch hinsichtlich Effizienz von „Huffman” unterscheiden wird. Beim Huffman–Code ergibt sich mit den vorliegenden Wahrscheinlichkeiten die folgende Zuordnung:

$\rm A$ → 100, $\rm B$ → 0, $\rm C$ → 111100, $\rm D$ → 101, $\rm E$ → 110, $\rm F$ → 111101, $\rm G$ → 11111, $\rm H$ → 1110.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Quellencodierverfahren.
Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Der Shannon-Fano-Algorithmus.
Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das interaktive Applet Shannon–Fano– und Huffman–Codierung.

Fragebogen

$L_{\rm M}\ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

	Man fasst $\rm A$ und $\rm B$ zur ersten Gruppe zusammen.
	Man fasst $\rm B$ und $\rm E$ zur ersten Gruppe zusammen.
	Die erste Gruppe besteht nur aus dem Symbol $\rm B$.

	Das Zeichen $\rm A$ wird binär mit 010 codiert.
	Das Zeichen $\rm B$ wird binär mit 11 codiert.
	Das Zeichen $\rm C$ wird binär mit 00110 codiert.

$L_{\rm M}\ = \ $

$\ \rm bit/Quellensymbol$

	$L_{\rm M}$ könnte bei Shannon–Fano kleiner sein als bei Huffman.
	$L_{\rm M}$ könnte bei Shannon–Fano größer sein als bei Huffman.
	$L_{\rm M}$ könnte bei Shannon–Fano und Huffman gleich groß sein.

Musterlösung

Solution

(1) Für den angegebenen Huffman–Code erhält man:

$$L_{\rm M} = 0.4 \cdot 1 + (0.17 + 0.14 + 0.10) \cdot 3 + 0.09 \cdot 4 + 0.05 \cdot 5 + (0.03 + 0.02) \cdot 6 =\underline{ 2.54 \,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}. $$

(2) Richtig ist die Antwort 2:

Vor Anwendung des Shannon–Fano–Algorithmus müssen die Zeichen erst nach ihren Auftrittswahrscheinlichkeiten sortiert werden. Damit ist die Antwort 1 falsch.
Alle sortierten Zeichen müssen so in zwei Gruppen eingeteilt werden, dass die Gruppenwahrscheinlichkeiten möglichst gleich sind. Für den ersten Schritt:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{\rm BE}) = 0.57\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(\boldsymbol{\rm DAHGFC}) = 0.43 \hspace{0.05cm}.$$

Bei der Aufteilung gemäß Lösungsvorschlag 3 würde die Gleichverteilung noch weniger erreicht:

$${\rm Pr}(\boldsymbol{\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(\boldsymbol{\rm EDAHGFC}) = 0.60 \hspace{0.05cm}.$$

Baumdiagramm der Shannon–Fano–Codierung

(3) Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

Die Grafik zeigt das Baumdiagramm der Shannon–Fano–Codierung.
Daraus ergibt sich folgende Zuordnung (eine rote Verbindung weist auf 1 hin, eine blaue auf 0):

$\underline{\rm A}$ → 010,

$\underline{\rm B}$ → 11,

$\underline{\rm C}$ → 00110,

${\rm D}$ → 011, ${\rm E}$ → 10, ${\rm F}$ → 00111, ${\rm G}$ → 0010, ${\rm H}$ → 000.

(4) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) erhält man:

$$L_{\rm M}= (0.40 + 0.17) \cdot 2 + (0.14 + 0.10 + 0.09) \cdot 3 + 0.05 \cdot 4 + (0.03 + 0.02) \cdot 5 =\underline{ 2.58 \,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}. $$

(5) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

Im vorliegenden Beispiel ergibt sich bei Shannon–Fano ein ungünstigerer Wert als bei Huffman.
In den meisten Fällen – so auch im Beispiel auf der Angabenseite – ergibt sich für Huffman und Shannon–Fano ein gleichwertiger Code und damit auch die gleiche mittlere Codewortlänge.
Einen effektiveren Code als Huffman liefert Shannon–Fano dagegen nie.