Exercise 2.6Z: Signal-to-Noise Ratio

Verschiedene Leistungsdichtespektren

Wir gehen in dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:

ein cosinusförmiges Quellensignal:

$$ q(t) = 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$

ZSB–AM durch Multiplikation mit

$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$

eine frequenzunabhängige Dämpfung auf dem Kanal entsprechend $α_{\rm K} = 10^{–4}$,
additives weißes Eingangsrauschen mit Rauschleistungsdichte $N_0 = 4 · 10^{–19} \ \rm W/Hz$,
phasen– und frequenzsynchrone Demodulation durch Multiplikation mit gleichem $z(t)$ wie beim Sender,
ein rechteckförmiger Tiefpass beim Synchrondemodulator mit Grenzfrequenz $f_{\rm E} = 5 \ \rm kHz$.

In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass sich das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_z(f)$ der Cosinusschwingung $z(t)$ ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ aus zwei Diraclinien bei $±f_{\rm T}$ zusammensetzt, aber mit dem Gewicht $A^2/4$ anstelle von $A/2$. Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe $A=1$ zu setzen.

Das Sinkensignal $v(t)$ setzt sich aus dem Nutzanteil $α · q(t)$ und dem Rauschanteil $ε(t)$ zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:

$$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit SNR (englisch: Signal–to–Noise–Ratio) abgekürzt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Berechnung der Rauschleistung sowie Zusammenhang zwischen $P_q$ und $P_{\rm S}$.
Beachten Sie bitte auch, dass die Größen $α$ und $α_{\rm K}$ nicht unbedingt gleich sein müssen.
Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe (1) beziehen sich auf den Widerstand $R = 50 \ \rm Ω$.
$P_q$ gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung $P_{\rm S}$ an.

Fragebogen

$P_q \ = \ $

$\ \rm V^2$

$P_q \ = \ $

$\ \rm W$

$α \ = \ $

$\ \cdot 10^{-4}$

${\it Φ}_ε(f = 0) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-19} \ \rm W/Hz$

$P_ε \ = \ $

$\ \cdot 10^{-15} \ \rm W$

$ρ_v \ = \ $

$10 · \lg ρ_v \ = \ $

$\ \rm dB$

Musterlösung

Solution

(1) Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude $A$ besteht aus zwei Diraclinien, jeweils mit Gewicht $A^2/4$. Die Leistung ergibt sich aus dem Integral über das LDS und ist somit gleich der Summe der beiden Diracgewichte. Mit $A = 4 \ \rm V$ erhält man somit für die Leistung des Quellensignals:

$$ P_q = \frac{A^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm V^2}} \hspace{0.05cm}.$$

Beim Modulationsverfahren „ZSB-AM ohne Träger” ist dies gleichzeitig die auf den Einheitswiderstand $1\ \rm Ω$ bezogene Sendeleistung $P_{\ rm S}$.

(2) Nach den elementaren Gesetzen der Elektrotechnik gilt:

$$P_q = \frac{8\,{\rm V^2}}{50\,{\Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.16\,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen $v(t) = q(t)$ gilt. Zu berücksichtigen ist allerdings:

Aus der Grafik erkennt man, dass $Z_{\rm E}(f) = Z(f)$ gilt. Damit hat das empfängerseitige Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ wie $z(t)$ die Amplitude $1$.
Im Idealfall müsste aber das empfängerseitige Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ die Amplitude $2$ besitzen.
Deshalb gilt gilt hier $υ(t) = q(t)/2$.
Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung $α_{\rm K} = 10^{–4}$, so erhält man das Endergebnis: $α\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 · 10^{–4}}.$

(4) Das Leistungsdichtespektrumdes Produktes $n(t) · z(t)$ ergibt sich aus der Faltung der beiden Leistungsdichtespektren von $n(t)$ und $z(t)$:

$$ {\it \Phi}_\varepsilon '(f) = {\it \Phi}_n (f) \star {\it \Phi}_{z }(f)= \frac{N_0}{2} \star \left[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \right]= N_0 \hspace{0.05cm}.$$

Für das Leistungsdichtespektrum des Signals $ε(t)$ nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei $f = 0$:

$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = {\it \Phi}_\varepsilon '(f) \cdot |H_{\rm E}(f)|^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_\varepsilon (f=0)= N_0\hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-19}\,{\rm W/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Die Rauschleistung ist das Integral über die Rauschleistungsdichte:

$$ P_{\varepsilon} = \int_{-f_{\rm E}}^{ + f_{\rm E}} {{\it \Phi}_\varepsilon (f)}\hspace{0.1cm}{\rm d}f = N_0 \cdot 2 f_{\rm E} = 4 \cdot 10^{-19}\,\frac{ \rm W}{\rm Hz} \cdot 10^{4}\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

(6) Aus den Ergebnissen der Teilaufgaben (2), (3) und (5) folgt:

$$\rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{(0.5 \cdot 10^{-4})^2 \cdot 0.16\,{\rm W}}{4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}} \hspace{0.15cm}\underline {= 100000} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$