Exercise 4.08: Decision Regions at Three Symbols

Signalraumkonstellationen mit $M = 3$ Symbolen

Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$.

Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich.
Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.

Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen $(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \ i ≠ k)$.

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

Entscheidungsregionen

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
Daraus folgt: $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.
Daraus folgt: $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$

(3) Hier ist der Lösungsvorschlag 2 zutreffend:

Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$.
Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:

$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort JA ist.

Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen

$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$

Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:

$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Gemäß der Grafik sind alle genannten Aussagen richtig.

	$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

	$\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.
	$\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.
	$\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.

	Ja.
	Nein.