Exercise 3.4: Systematic Convolution Codes

Vorgegebene Filterstrukturen

Man spricht von einem systematischen Faltungscode der Rate $R = 1/2$ ⇒ $k = 1, \ n = 2$, wenn das Codebit $x_i^{(1)}$ gleich dem momentan anliegenden Informationsbit $u_i$ ist.

Die Übertragungsfunktionsmatrix eines solchen Codes lautet:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Der in der oberen Grafik dargestellte Coder $\rm A$ ist sicher nicht systematisch, da für diesen $G^{(1)}(D) ≠ 1$ gilt. Zur Herleitung der Matrix $\mathbf{G}(D)$ verweisen wir auf ein früheres Beispiel, in dem für unseren Standard–Rate–1/2–Coder mit Gedächtnis $m = 2$ die Übertragungsfunktionsmatrix ermittelt wurde:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) = \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Der Coder $\rm A$ unterscheidet sich gegenüber diesem Beispiel nur durch Vertauschen der beiden Ausgänge.

Lautet die Übertragungsfunktionsmatrix eines Codes

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm},$$

so gilt für die äquivalente systematische Repräsentation dieses Rate–1/2–Faltungscodes allgemein:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {G^{(2)}(D)}/{G^{(1)}(D)} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (3) ist zu prüfen, welcher der systematischen Anordnungen äquivalent zum Coder $\rm A$ ist?

Entweder Coder $\rm B$,
oder Coder $\rm C$
oder auch beide.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten

Übertragungsfunktionsmatrix – Transfer Function Matrix sowie

Äquivalenter systematischer Faltungscode.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten Rate–1/2–Standardcode.

Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code ⇒ $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder $\rm A$ weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.

(2) Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$–Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code ⇒ Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen,
muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k × k$–Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$.

Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k × k$–Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Wir gehen hier von der $\mathbf{G}(D)$–Matrix für den Coder $\rm A$ aus.
Wegen $k = 1$ haben hier sowohl $\mathbf{T}(D)$ als auch $\mathbf{Q}(D)$ die Dimension $1 × 1$, sind also streng genommen gar keine Matrizen:

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.2cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm T}}(D) = \big ( 1+D^2\big )\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \big ( 1+D+D^2\big )\hspace{0.05cm} .$$

Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:

$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1 C,\hspace{0.8cm} G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.1cm} \frac{1+D+D^2}{1+D^2} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist also der letzte Lösungsvorschlag:

Der Lösungsvorschlag 1 beschreibt keinen systematischen Code.
Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum Coder $\rm A$ entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.

(3) Die Generatorfunktionsmatrix von Coder $\rm B$ lautet:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {1+D+D^2} \hspace{0.05cm}\big ) \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum Coder $\rm A$.
Betrachten wir nun den Coder $\rm C$. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:

$$w_i \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {U}(D) = W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} w_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm} {X}^{(2)}(D) = W(D) \cdot (1 +D + D^2 )$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G^{(2)}(D) = \frac{{X}^{(2)}(D)}{{U}(D)} = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht genau dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) ⇒ Lösungsvorschlag 2.

	$\mathbf{G}(D) = (1 + D^2, \ 1 + D + D^2)$,
	$\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
	$\mathbf{G}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$.

	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$,
	$\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ (1 + D + D^2)/(1 + D^2))$.