Exercise 3.2Z: Sinc-Squared Spectrum with Diracs

$\rm si$-Quadrat-Spektrum mit Diracs

Das skizzierte Spektrum ${X(f)}$ eines Zeitsignals ${x(t)}$ setzt sich zusammen aus

einem kontinuierlichen Anteil $X_1(f)$,

dazu drei diracförmigen Spektrallinien.

Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:

$$X_1( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$

Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und –rücktransformation.
Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Kontinuierliche und diskrete Spektren.

Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $y(t)$ mit der Amplitude ${A}$ und der absoluten Dauer $2T$ $($das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0)$ folgende Spektralfunktion besitzt:

$$Y( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$

Fragebogen

$A\ = \ $

$\text{V}$

$T\ = \ $

$\text{$µ$s}$

$B\ = \ $

$\text{V}$

$C\ = \ $

$\text{V}$

$x_\text{max}\ = \ $

$\text{V}$

$x_\text{min}\hspace{0.2cm} = \ $

$\text{V}$

Musterlösung

Solution

Fläche des Dreieckimpulses

(1) Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm µ s}}$.

Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an.
Diese ist gleich ${A} \cdot {T}$. Daraus folgt:

$$A = \frac{X_0 }{T} = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$

(2) Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei $f = 0$ gegeben. Man erhält ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.

(3) Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.

(4) Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt ${t} = 0$ auf (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):

$$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= +2 \text{V}}.$$

Die minimalen Werte von ${x(t)}$ ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$ liefert:

$$x_\text{min} = {B} - {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = -2\, \text{V}}.$$