Exercise 1.5: Drawing Cards

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Wunschergebnis „Drei Asse”

Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.

• Für die Teilaufgabe  (1)  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.

• Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab  (2)  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).

Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?

$p_1 \ = \ $

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit  $p_2$  werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?  Warum ist  $p_2$  kleiner/gleich/größer als  $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_3 \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?

$p_4 \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind? 
Hinweis:  Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$  ein vollständiges System beschreiben.

$p_5 \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass genau gleich groß  $(1/8)$:

$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$

(2)  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$

• Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.  Man erhält hierfür  $k/m$  (bei  $m$  Karten sind noch  $k$  Asse im Stapel):

$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$

• Man erkennt:   $p_2$  ist kleiner als  $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.

(3)  Analog zur Teilaufgabe  (2)  erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$

(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:

$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$

$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) = {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) = Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

• Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?

• Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.

• Damit erhält man für die Summe  $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.

(5)  Definiert man die Ereignisse  $E_i :=$  „Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen” mit Index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$,
        so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und  $E_3$  ein vollständiges System. Deshalb gilt:

$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$