Exercise 4.6: Coordinate Rotation

Koordinatendrehung einer 2D-WDF

Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße $(x, y)$ mit statistisch unabhängigen Komponenten. Die Streuungen der beiden Komponenten seien $\sigma_x = 1$ und $\sigma_y = 2$.

Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweidimensionale Zufallsgröße $(x, y)$ innerhalb des grün schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:

$$-C \le x + y \le +C.$$

Führen Sie zur Lösung eine Koordinatentransformation durch:

$$\xi = \hspace{0.4cm} x +y,$$

$$\eta= -x +y .$$

Dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um $45^\circ$.

Aus $x+y= \pm C$ folgt damit $\xi=\pm C$.
Die beiden zweidimensionalen Dichtefunktionen lauten dann:

$$f_{xy} (x,y) = \frac{1}{4 \pi} \cdot \exp \left [ - ( x^2\hspace {-0.1cm} /2 + y^2\hspace {-0.1cm} /8) \right ] ,$$

$$f_{\xi\eta} (\xi, \eta) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sigma_\xi \cdot \sigma_\eta \cdot \sqrt{1 - \rho_{\xi\eta}^2}} \cdot \exp \left [ - \frac{1}{2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)} \cdot ( \frac {\xi^2}{\sigma_\xi^2} + \frac {\eta^2}{\sigma_\eta^2 }- 2 \rho_{\xi\eta}\cdot \frac {\xi \cdot \eta}{\sigma_\xi \cdot \sigma_\eta}) \right ] .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Drehung des Koordinatensystems.

Gegeben sind die Näherungen ${\rm Q}(2.3) \approx 0.01$ und ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.
Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Gaußsche 2D-Zufallsgrößen:

Teil 1: Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,

Teil 2: Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.

Fragebogen

$\sigma_\xi/\sigma_\eta \ = \ $

$\sigma_\xi \ = \ $

$\rho_{\xi\eta} \ = \ $

$C_{99\%} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Aus $\xi = x + y$ und $\eta = -x + y$ folgt direkt:

$$x = {1}/{2} \cdot ( \xi - \eta ) ,\hspace{0.5cm}y = {1}/{2}\cdot ( \xi +\eta ) .$$

Setzt man diese Werte für den negativen Exponenten ein, so erhält man:

$$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{8} = \frac{1}{8} \cdot ( \xi - \eta )^2 + \frac{1}{32} \cdot ( \xi + \eta )^2.$$

Ausmultipliziert ergibt dies:

$$\frac{5}{32} \cdot \xi^2 + \frac{5}{32} \cdot \eta^2 - \frac{3}{16} \cdot \xi \cdot \eta .$$

Da die Koeffizienten bei $\xi^2$ und $\eta^2$ gleich sind, gilt $\sigma_\xi = \sigma_\eta$. Der gesuchte Quotient ist somit 1.

(2) Durch Koeffizientenvergleich erhält man für $\sigma_\xi = \sigma_\eta$ das Gleichungssystem:

$$2 \cdot \sigma_\xi^2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)= \frac{32}{5},$$

$$\frac{\sigma_\xi^2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)}{\rho_{\xi\eta}}= \frac{16}{3}.$$

Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, so ergibt sich $\rho_{\xi\eta}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.6}$ und $\sigma_{\xi} = \sqrt{5}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.236}$.

(3) Nach Koordinatentransformation kann man für diese Wahrscheinlichkeit schreiben:

$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = {\rm Pr} ( | \xi | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Pr} ( \xi >C ).$$

Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral folgt daraus weiter:

$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Q} ( {C}/{\sigma_\xi}) = 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q} ( {C}/{\sigma_\xi}) = 0.005.$$

Mit dem angegebenen Wert ${\rm Q}(2.6) \approx 0.005$ erhält man somit das Ergebnis:

$$C \approx 2.6 \cdot \sigma_{\xi}\hspace{0.15cm}\underline {= 5.814}.$$