Exercise 2.3: About the LZ78 Compression

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Die LZ78–Erfinder

Im Gegensatz zur Entropiecodierung nach Huffman oder nach Shannon, bei der man die Quellenstatistik (möglichst genau) kennen muss, sind solche Einschränkungen bei den von  Abraham Lempel  und  Jacob Ziv  entwickelten Komprimierungsverfahren nicht gegeben.  Man spricht von universeller Quellencodierung.

Wir betrachten in dieser Aufgabe die 1978 erstmals veröffentlichte Variante  [LZ78].  Codiert werden soll der String  BARBARA–BAR.

• Das Verfahren LZ78 arbeitet mit einem globalen Wörterbuch, das zu Beginn nur mit einem leeren Zeichen  $(\varepsilon)$  unter dem Index  $I = 0$  gefüllt ist.  Dadurch unterscheidet sich „LZ78” von seinem Vorgänger „LZ77” (mit lokalem Wörterbuch) und auch von seinem Nachfolger „LZW” (Wörterbuch ist mit den möglichen Zeichen vorbelegt).
• Wird ein Zeichen oder ein Wortfragment (mehrere Zeichen) des Eingabestrings im Wörterbuch gefunden, so wird der Index  $I_0$  dieses Eintrags zusammen mit dem nächsten Eingangszeichen  $Z$  ausgegeben.  In jedem Schritt  $i$  lautet also die Ausgabe:   $(I_0, \ Z)$.
• Anschließend wird der neue String unter dem nächsten freien Index  $I_{\rm neu}$  ins Wörterbuch eingetragen.
• Betrachtet man das Wörterbuch als ein Feld  $W\big[\hspace{0.05cm}I\hspace{0.05cm}\big]$  mit  $I ≥ 0$, bei dem ein jedes Element eine Zeichenkette beliebiger Länge enthält, so gilt mit der Character–Variablen  $Z$:

$$W \big[\hspace{0.05cm}I_{\rm neu}\hspace{0.05cm}\big] = W\big[\hspace{0.05cm}I_0\hspace{0.05cm}\big] + Z \hspace{0.05cm}. $$

Zur Verdeutlichung ein einfaches Beispiel:

• Zu einem gegebenen Zeitpunkt ist das Wörterbuch bis zum Index  $I_{\rm akt }= 20$  gefüllt.
• Zur Codierung steht  Handy  an.  Im Wörterbuch findet man unter dem Index  $I = 11$  den Eintrag  Ha  und unter dem Index  $I = 16$  den Eintrag Han.
• Somit lautet die aktuelle Coderausgabe   $(I_0, Z) = (16,$ d$)$  und ins Wörterbuch wird als neue Phrase eingetragen:   $W(21) =$ Hand.
• Nun liegt der String  y  zur Codierung an.  Findet man hierfür keinen passenden Eintrag, so wird  $(0,$ y$)$  ausgegeben und ins Wörterbuch wird neu eingetragen:   $W(22) = $ $\rm ε$  + y $=$ y .

Für die Teilaufgabe  (6)  können Sie von folgenden Voraussetzungen ausgehen:

• Die Dezimalzahl  $I$  (Index) wird durch drei Bit binär dargestellt.
• Das Zeichen  $Z ∈ \{$A,  B,  R,  –$ \}$  wird mit jeweils zwei Bit binär codiert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch.
• Insbesondere wird auf die Seite  Die Lempel-Ziv-Variante LZ78  Bezug genommen.
• Die Originalliteratur  [LZ78]  zu diesem Verfahren lautet:  
  Ziv, J.; Lempel, A.: Compression of Individual Sequences via Variable-Rate Coding. In: IEEE Transactions on Information Theory, no. 5, vol. 24, 1978, p. 530–536.

• Die  Aufgabe 2.3Z  sowie die  Aufgabe 2.4  behandeln andere Lempel–Ziv-Verfahren in ähnlicher Weise.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Vorbelegung des LZ78–Wörterbuches?

	Vorbelegt ist nur der Index  $I = 0$  mit dem Leerzeichen  $(\varepsilon)$.
	Vorbelegt sind die Indizes  $I = 0$  bis  $I = 3$  mit den vier Zeichen  A,  B,  R  und  – .

2

Was geschieht im Codierschritt  $i = 1$?

	Die Coderausgabe lautet:   $(0,$ B$)$.
	Der Wörterbucheintrag lautet:   $W(I = 1) =$ B.
	Der Wörterbucheintrag lautet:   $W(I = 1) =$ BA.

3

Welche Aussagen gelten für die Codierschritte  $i = 2$  und  $i = 3$?

	Für  $i = 2$  gilt:   Ausgabe  $(0,$ A$)$,   Eintrag  $W(I = 2) =$ A.
	Für  $i = 3$  gilt:   Ausgabe  $(0,$ R$)$,   Eintrag  $W(I = 3) =$ R.

4

Welche Aussagen gelten für den Codierschritt  $i = 4$?

	Bei Schritt  $i = 4$  wird  BAR  gemeinsam codiert.
	Bei Schritt  $i = 4$  wird  BA  gemeinsam codiert.
	Die Coderausgabe lautet:   $(2,$ AR$)$.
	Die Coderausgabe lautet:   $(1,$ A$)$.

5

Vervollständigen Sie die LZ78–Codierung.  Nach welchem Codierschritt  $i_{\rm Ende}$  ist  BARBARA–BAR  vollständig codiert?

$i_{\rm Ende} \ = \ $

6

Wieviele Binärzeichen benötigt man, um  BARBARA–BAR  zu codieren?  Beachten Sie die Hinweise auf der Angabenseite.

$\text{ohne Codierung: }\ N \ = \ $ $\ \rm Bit$

$\text{mit LZ78-Codierung: }\ N \ = \ $ $\ \rm Bit$

Musterlösung

Solution

(1)  Zutreffend für den LZ78–Algorithmus ist Aussage 1:

• Die Vorbelegung gemäß Aussage 2 gilt dagegen für den LZW–Algorithmus, der 1983 gemeinsam mit Terry Welch veröffentlicht wurde.

(2)  $\rm ε$  bezeichnet das leere Zeichen. 

• Da  $\rm ε$ + B = B  ergibt, sind die Aussagen 1 und 2 richtig.
• Aussage 3 trifft wieder nur für die LZW–Komprimierung zu.

(3)  Hier treffen beide Aussagen zu.

(4)  Richtig sind die Aussagen 2 und 4:

• Im Wörterbuch wird unter dem Index  $I = 1$  das Zeichen  B  gefunden.
• Das nächste Zeichen  A  der Eingangsfolge wird angehängt:   (1, A).
• Die Aussage 3 kann schon deshalb nicht stimmen, da  $Z$  nur ein Zeichen sein kann und keine Zeichenfolge.

LZ78–Codierung von  BARBARA–BAR

(5)  Der gesamte Codiervorgang ist in einer Tabelle zusammengefasst. Man erkennt:

• Zu jedem Zeitpunkt  $i$  wird die bearbeitete Zeichenfolge in das Wörterbuch eingetragen.
• Zum Zeitpunkt  $\underline{i=7}$  ist der Codiervorgang abgeschlossen.

(6)  Stellt man alle Indizes mit drei Bit dar und die vier Zeichen (Character) mit je zwei Bit, so kommt man zu folgenden Ergebnissen:

• ohne Codierung:   $N = 11 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline {= 22 \, \rm Bit}$,
• mit LZ78–Codierung:   $N = 7 \cdot (3+2) \hspace{0.15cm}\underline {= 35 \, \rm Bit}$.

Daran erkennt man:

• Eine jede LZ–Komprimierung macht erst bei einer größeren Datei Sinn, auch dann, wenn man glaubt, dass ein Text wie  BARBARA–BAR  dem LZ78–Algorithmus entgegenkommt.
• Mit variabler Bitanzahl für den Index entsprechend der Aufgabe 2.4 würde sich für dieses LZ78-Beispiel ergeben:

$$N = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 31 \,{\rm Bit}\hspace{0.05cm}.$$