Exercise 1.4: "Pointer diagram" and "Locality Curve"
Die beiliegende Grafik zeigt das analytische Signal $s_+(t)$ in der komplexen Ebene.
- Die in den Rechtecken angegebenen Zahlen geben die Zeitpunkte in Mikrosekunden an.
- Bei allen Vielfachen von $5 \ \rm µ s$ ist $s_+(t)$ stets reell und hat dabei folgende Werte:
- $$s_+(t = 0) =s_+(t = 50\;{\rm µ s})= 1.500\hspace{0.05cm},$$
- $$s_+(t = 5\;{\rm µ s}) = s_+(t = 45\;{\rm µ s})= -1.405\hspace{0.05cm},$$
- $$s_+(t = 10\;{\rm µ s}) = s_+(t = 40\;{\rm µ s})= 1.155\hspace{0.05cm},$$
- $$\text{.....................................} $$
- $$s_+(t = 25\;{\rm µ s}) = -0.500\hspace{0.05cm}.$$
Als bekannt vorausgesetzt wird, dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:
- $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T}\cdot t\right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right)\hspace{0.05cm}.$$
- Gegeben ist die Frequenz des Trägersignals zu $f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.
- Ermittelt werden sollen die drei weiteren Parameter $f_0$, $A_{\rm T}$ und $A_0$.
Bezug genommen wird auch auf das äquivalente TP–Signal $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:
- $$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Allgemeines Modell der Modulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.
- Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:
- In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals $s_+(t)$ in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
Fragebogen
Musterlösung
- $$s_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t} = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ \frac{A_0}{2} \cdot \left( {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t} + {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t}\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
Mit der Gleichung ${\rm e}^{{\rm j} · α} + {\rm e}^{-{\rm j} · α} = 2 · \cos(α)$ folgt weiter:
- $$s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:
- $$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist also der letzte Lösungsvorschlag.
- Im Kapitel „Hüllkurvendemodulation” des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger handelt.
(2) Die Periodendauer des analytischen Signals $s_+(t)$ beträgt $T_0 = 50$ μs.
- Das physikalische Signal $s(t)$ hat die gleiche Periodendauer.
- Unter der Voraussetzung, dass $f_{\rm T}$ ein ganzzahliges Vielfaches von $f_0$ ist (was stets zu überprüfen ist, aber für dieses Beispiel zutrifft), ergibt sich $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 20 \ \rm kHz}$.
(3) Bei den gegebenen Zeitpunkten (Vielfache von $5$ μs) gilt für den komplexen Drehzeiger des Trägers:
- $${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm} {100\,{\rm kHz}}\cdot \hspace{0.05cm}(k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 5\,{\rm \mu s})} = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}k \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi } = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{falls}} \\ {\rm{falls}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} k \hspace{0.1cm}{\rm gerade} , \\ k \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} . \\ \end{array}$$
Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe (1) berechneten Gleichung:
- $$k = 0 \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm},$$
- $$k = 5 \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 25\;{\rm µ s}) = - \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot {T_0}/{2}) \right] = -A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm}.$$
Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:
- $$ s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0}=1.5 \hspace{0.05cm}, $$
- $$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s}) = -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
Daraus erhält man $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$ und $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.
(4) Zum Zeitpunkt $t = 15$ μs ($k = 3$, ungerade) gilt:
- $$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm µ s}) = - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm}, = -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 20$ μs ($k = 4$, gerade):
- $$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm µ s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$
Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$ genau so groß.
