Exercise 2.6: Dimensions in GWSSUS

Überblick der GWSSUS–Funktionen

Der Mobilfunkkanal kann in sehr allgemeinen Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch

die Fouriertransformation bzw.
die Fourierrücktransformation

gegeben ist.

Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:

V steht für Verzögerung $\tau$ (Index „1”),
F steht für die Frequenz $f$ (Index „1”),
Z steht für die Zeit $t$ (Index „2”),
D steht für die Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ (Index „2”).

Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Die Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:

Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer Fouriertransformation.
Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis entspricht der Fourierrücktransformation (Gegenrichtung).

Beispielsweise gilt:

$$\eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.02cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.02cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.05cm}.$$

Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion $\varphi_{12}$ und das Leistungsdichtespektrum $\it \Phi_{\rm 12}$ werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$.
Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS–Modell ausgegangen.

Betrachten wir hier die Systemfunktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$

$$\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \Delta t = t_2 - t_1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$

$$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$

$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSUS–Kanalmodell.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Alle Aussagen sind richtig:

$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ ist die zeitvariante Impulsantwort, für die auch die Bezeichnung $h(\tau, t)$ gebräuchlich ist. Wie jede Impulsantwort hat auch $h(\tau, t)$ die Einheit $[1/\rm s]$.
Durch Fouriertransformation der Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezüglich der Verzögerung $\tau$ kommt man zu

$$\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$

Durch die Integration nach $\tau$ (Einheit: $\rm s$) ist $\eta_{\rm FZ}(f, t)$, die auch als „zeitvariante Übertragungsfunktion” bezeichnet wird, ohne Einheit. In mancher Literatur wird anstelle von $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ auch $H(f, t)$ verwendet.

Auch die Verzögerungs–Doppler–Darstellung $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit. Diese Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ durch die Fouriertransformation hinsichtlich $t$:

$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Die Funktion $\eta_{\rm FD}(t, f_{\rm D})$ ergibt sich aus den dimensionalen Funktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bzw. $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$ zur Folge hat.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Die Autokorrelationsfunktion ist definitionsgemäß der folgende Erwartungswert:

$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Da die zeitvariante Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ die Einheit $[1/\rm s]$ aufweist, hat deren AKF $\varphi_{\rm VZ}$ die Einheit $[1/\rm s^2]$, sowohl mit dem Argument $(\tau_1, l_1, \tau_2, t_2)$ als auch mit dem GWSSUS–Argument $(\Delta \tau, \ \Delta t)$.

Die Diracfunktion $\delta(\Delta \tau)$ hat die Dimension $[1/\rm s]$, da das Integral über alle $\tau$ (mit Einheit $[\rm s]$) den Wert $1$ ergeben muss. Daraus folgt für die Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta \tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$, ebenso für die Verzögerungs–Leistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)$.

(3) Richtig sind hier die Aussagen 1 und 3:

Ausgehend von der Einheit $[1/\rm s]$ der Funktion ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)$ kommt man durch Fouriertransformation bezüglich $\tau$ bzw. $\Delta t$ zu den Funktionen $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t)$ bzw. ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$. Beide sind dimensionslos.

Das Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum hat die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$, wegen

$${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$

	$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\eta_{\rm FZ}(f, t)$ hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm Hz]$.

	$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, {\rm \Delta} t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.

	$\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t), \varphi_{\rm F}(\Delta f)$ und $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ haben keine Einheit.
	${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ und ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ haben jeweils die Einheit $[1/\rm Hz]$.