Exercise 1.08Z: Equivalent Codes

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Vier  $(6, 3)$–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$  für verschiedene Codes angegeben, die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}$  und die Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  charakterisiert werden:

• ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden, welche dieser Codes bzw. Codepaare

• systematisch sind,
• identisch sind  (das heißt:   Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
• äquivalent sind  (das heißt:   Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).

Hinweise :

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  Systematische Codes  sowie  Identische Codes.
• Anzumerken ist, dass die Angabe einer Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  nicht eindeutig ist.
• Verändert man die Reihenfolge der Prüfgleichungen, so entspricht dies einer Vertauschung von Zeilen.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgend aufgeführten Codes sind systematisch?

	Code  $\rm A$,
	Code  $\rm B$,
	Code  $\rm C$,
	Code  $\rm D$.

2

Welche der vorgegebenen Codepaare sind identisch?

	Code  $\rm A$  und Code  $\rm B$,
	Code  $\rm B$  und Code  $\rm C$,
	Code  $\rm C$  und Code  $\rm D$.

3

Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent, aber nicht identisch?

	Code  $\rm A$  und Code  $\rm B$,
	Code  $\rm B$  und Code  $\rm C$,
	Code  $\rm C$  und Code  $\rm D$.

4

Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen  $G_{\rm B}$  und  $G_{\rm C}$?

	Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
	Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um  $1$  nach unten.
	Durch zyklische Vertauschung der Spalten um  $1$  nach rechts.

5

Bei welchen Codes gilt  ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?

	Code  $\rm A$,
	Code  $\rm B$,
	Code  $\rm C$,
	Code  $\rm D$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:

• Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:

$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Bedingung erfüllen Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.

(2)  Richtig ist nur Antwort 1:

• Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
• Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.8 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$

• allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
• durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.

(3)  Richtig ist somit allein Antwort 2:

• Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
• Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
• Code B und Code C zeigen dagegen gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.

(4)  Richtig ist Antwort 3:

• Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
• Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
• Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.

(5)  Alle Aussagen treffen zu:

• Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.