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Binary Symmetric Channel – Model and Error Correlation Function
The left graph shows the BSC model, the simplest model of a digital transmission system.
The name stands for Binary Symmetric Channel and states that this model can only be used for binary systems with symmetrical falsification properties. Further applies:
- The BSC model is suitable for the study and generation of a sequence of errors with statistically independent errors. Such a channel is also called memory-free and, unlike the "burst error channel models", only a single channel state exists.
- The two symbols $($for example $\rm L$ and $\rm H)$ are each falsified with the same probability $p$, so that the mean error probability $p_{\rm M} = p$ is also independent of the symbol probabilities $p_{\rm L}$ and $p_{\rm H}$.
The right graph shows the error correlation function (ECF) of the BSC model:
- \[\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm or }\hspace{0.25cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm or }\hspace{0.25cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]
$\text{Fazit:}$
- Beim BSC–Modell wird der FKF–Endwert (Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit), der bei anderen Modellen erst für $k \to \infty$ gültig ist, bereits bei $k = 1$ exakt erreicht und bleibt dann konstant.
- Das BSC–Modell gehört zur Klasse der erneuernden Kanalmodelle (englisch: Renewal Channels). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
- \[\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot \varphi_{e}(k - \kappa) \hspace{0.05cm}.\]
Binary Symmetric Channel – Fehlerabstandsverteilung
Wir betrachten nun die Fehlerabstandsverteilung (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand $a=k$ ergibt sich aus der Bedingung von $k-1$ fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt $\nu +k$, vorausgesetzt, dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt $\nu$ aufgetreten ist. Man erhält:
- \[{\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.\]
Daraus folgt:
- Der Fehlerabstand $a = 1$ tritt beim BSC–Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf, und zwar für jeden Wert von $p$.
- Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit $p = 0.01$ ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand ${\rm E}\big[a\big] = 100$.
- Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler $(a = 1)$ um den Faktor $0.99^{99} \approx 2.7$ wahrscheinlicher als der Fehlerabstand $a = 100$.
Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der allgemeinen Definition durch Summation:
- \[V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} (1-p)^{\kappa-1}\cdot p = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.\]
$\text{Beispiel 1:}$ Die linke Grafik zeigt $V_a(k)$ in linearer Darstellung für
- $p = 0.1$ (blaue Kurve), und
- $p = 0.02$ (rote Kurve).
Der Abfall erfolgt mit steigendem $k$ exponentiell und ist umso steiler, je kleiner $p$ ist.
Die rechte Grafik zeigt die logarithmische Darstellung. Hier verläuft der Abfall linear entsprechend
- \[{\rm lg} \hspace{0.15cm}V_a(k) = (k - 1) \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}(1-p)\hspace{0.05cm}.\]
Anwendungen des BSC–Modells
Das BSC–Modell ist das digitale Äquivalent zum einfachsten analogen Modell ⇒ AWGN für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik. Einzige Beeinträchtigung ist das Rauschen; es gibt keine Verzerrungen.
Um das BSC–Modell anwenden zu können, muss das Digitalsystem folgende Voraussetzungen erfüllen:
- redundanzfreie Binärcodierung ⇒ keine Kanalcodierung und –decodierung,
- Störung entsprechend dem AWGN–Modell ⇒ additiv, weiß und gaußverteilt,
- keine nichtlinearen oder linearen Verzerrungen durch die Bauteile von
Sender und Empfänger, - Schwellenwertentscheider mit symmetrischer Entscheiderschwelle,
- keine Fremdeinflüsse wie Nebensprechen, Wählimpulse oder elektromagnetische Störfelder.
Bei einem Funksystem mit einer direkten Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger ist die Anwendung des BSC–Modells oft gerechtfertigt, nicht jedoch, wenn Fadingeinflüsse ⇒ Rayleigh oder Rice eine Rolle spielen oder wenn Echos auftreten können ⇒ Mehrwegeempfang.
Bei leitungsgebundener Übertragung (zum Beispiel DSL, aber auch bei optischer Übertragung) sind dagegen nach Aussagen von Netzbetreibern statistisch unabhängige Fehler eher die Ausnahme. Treten bei der Datenübertragung über das Fernsprechnetz Fehler auf, dann meist gehäuft.
Man spricht in diesem Fall von so genannten Bündelfehlern, die im nächsten Kapitel behandelt werden.
Aufgaben zum Kapitel
Aufgabe 5.3: AWGN- und BSC-Modell
Aufgabe 5.3Z: Analyse des BSC-Modell
Aufgabe 5.4: Ist das BSC-Modell erneuernd?
Aufgabe 5.5: Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge
