Exercise 2.11: Envelope Demodulation of an SSB Signal

(Normierte) Hüllkurve bei der
Einseitenband–Modulation

Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals

$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$

gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines Hüllkurvendemodulators in den NF-Bereich zurückgesetzt.

Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal $r(t)$ identisch mit dem Sendesignal $s(t)$ ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis

$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$

kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$

Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter $μ$:

$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve $a(t)$ für $μ = 1$ und $μ = 0.5$ dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.

Das periodische Signal $a(t)$ kann durch eine Fourierreihe angenähert werden:

$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$

Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für $μ = 1$ ergaben sich folgende Werte:

$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend ergab die Simulation mit $μ = 0.5$:

$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung vernachlässigt werden.

Das Sinkensignal $v(t)$ ergibt sich aus $a(t)$ wie folgt:

$$v(t) = 2 \cdot \big [a(t ) - A_{\rm 0} \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten $A_0$ den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.

Für die Fragen (1) bis (3) wird $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ ⇒ $μ = 1$ vorausgesetzt, während ab Frage (4) für den Parameter $μ = 0.5$ ⇒ $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ gelten soll.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einseitenbandmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Seitenband-zu-Träger-Verhältnis.
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$ der Klirrfaktor $K ≈ μ/4$ beträgt.

Fragebogen

$v_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm V$

$v_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm V$

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

	Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
	Der Gleichsignalanteil ${\rm Ε}\big[v(t)\big ] = 0$.

$v_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm V$

$v_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm V$

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

$K_{\rm max} \ = \ $

$\ \text{%}$

Musterlösung

Solution

(1) Der Maximalwert $a_{\rm max} = 2\ \rm V$ und der Minimalwert $a_{\rm min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:

$$ a_{\rm max} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$

$$a_{\rm min} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Für die beiden Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:

$$ v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man:

$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$

Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25\%$.

(3) Nur der erste Lösungsvorschlag ist richtig.

Aufgrund des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators wäre der Gleichsignalanteil auch dann Null, wenn keine Verzerrungen vorlägen.

(4) Analog zur Teilaufgabe (1) gilt hier:

$$v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:

$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$

Die einfache Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5\%$.
Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.

(6) Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird.

Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob
- eine ESB–AM, oder
- eine durch den Kanal extrem beeinträchtigte ZSB–AM

vorliegt, gibt $K_{\rm max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.

Ein Vergleich der Parameter $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ und $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$ führt zum Ergebnis:

$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$