Exercise 4.15: PDF and Covariance Matrix

Zwei Korrelationsmatrizen

Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:

Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:

$$K_{ij} = \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij}.$$

Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:

$$ K_{11} =1, \ K_{22} =0, \ K_{33} =0.25.$$

Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.

Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, \ 0.4, \ 0.25)$ bestimmt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF mit $N = 2$:

$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y}) = \frac{1}{{2 \pi \cdot \sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm e}^{-{1}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} ^{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\mathbf{K_y}^{-1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} }= C \cdot {\rm e}^{-\gamma_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \gamma_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\gamma_{12} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2 }.$$

In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden.
Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen lauten:

$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 (1-\rho^{\rm 2})}\cdot(\frac { y_1^{\rm 2}}{\sigma_1^{\rm 2}}+\frac { y_2^{\rm 2}}{\sigma_2^{\rm 2}}-\rm 2\rho \frac{{\it y}_1{\it y}_2}{\sigma_1 \cdot \sigma_2}) \rm \Bigg].$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.

Fragebogen

	Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
	Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{21}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind Null.
	Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.

$K_\text{31} \ = \ $

$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = \ $

$I_\text{11} \ = \ $

$I_\text{12} \ = \ $

$I_\text{21} \ = \ $

$I_\text{22} \ = \ $

$C\ = \ $

$\gamma_1 \ = \ $

$\gamma_2 \ = \ $

$\gamma_{12}\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:

Anhand der Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße $\mathbf{x}$ mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert $\mathbf{m}$ herausgerechnet wird.
Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$ bekannt sein.
Aus $K_{22} = \sigma_2^2 = 0$ folgt zwingend, dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile $(K_{21}, K_{23})$ und der zweiten Spalte $(K_{12}, K_{32})$ ebenfalls Null sind.
Dagegen ist die dritte Aussage falsch: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets $K_{31} = K_{13}$ gelten muss.

Vollständige Kovarianzmatrix

(2) Aus $K_{11} = 1$ und $K_{33} = 0.25$ folgen direkt $\sigma_1 = 1$ und $\sigma_3 = 0.5$.

Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{13} = 0.8$ (siehe Angabenblatt) erhält man somit:

$$K_{13} = K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$

(3) Die Determinante der Matrix $\mathbf{K_y}$ lautet:

$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$

(4) Entsprechend den Angaben auf den Seiten "Determinante einer Matrix" und "Inverse einer Matrix" gilt:

$${\mathbf{I_y}} = {\mathbf{K_y}}^{-1} = \frac{1}{|{\mathbf{K_y}}|}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 0.25 & -0.4 \\ -0.4 & 1 \end{array} \right].$$

Mit $|\mathbf{K_y}|= 0.09$ gilt deshalb weiter:

$$I_{11} = {25}/{9}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.777};\hspace{0.3cm} I_{12} = I_{21} = -40/9 \hspace{0.15cm}\underline{ = -4.447};\hspace{0.3cm}I_{22} = {100}/{9} \hspace{0.15cm}\underline{= 11.111}.$$

(5) Ein Vergleich von $\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_x}$ mit Nebenbedingung $K_{22} = 0$ zeigt, dass $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$ identische Zufallsgrößen sind, wenn man $y_1 = x_1$ und $y_2 = x_3$ setzt.

Somit gilt für die WDF-Parameter:

$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho = 0.8.$$

Der Vorfaktor entsprechend der allgemeinen WDF-Definition ist somit:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6}= \frac{1}{0.6 \cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$

Mit der in der Teilaufgabe (3) berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$

(6) Die in der Teilaufgabe (4) berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right].$$

Somit lautet das Argument $A$ der Exponentialfunktion:

$$A = \frac{5}{18}\cdot{\mathbf{y}}^{\rm T}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right]\cdot{\mathbf{y}} =\frac{5}{18}\left( 5 \cdot y_1^2 + 20 \cdot y_2^2 -16 \cdot y_1 \cdot y_2\right).$$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

$$\gamma_1 = \frac{25}{18} \approx 1.389; \hspace{0.3cm} \gamma_2 = \frac{100}{18} \approx 5.556; \hspace{0.3cm} \gamma_{12} = - \frac{80}{18} \approx -4.444.$$

Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:

$$\gamma_1 =\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot \sigma_1^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 1 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 1.389},$$

$$\gamma_2 =\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot\sigma_2^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 0.25 \cdot 0.36} = 4 \cdot \gamma_1 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.556},$$

$$\gamma_{12} =-\frac{\rho}{ \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= -\frac{\rm 0.8}{\rm 1 \cdot 0.5 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx -4.444}.$$