Exercise 4.6Z: Basics of Product Codes

Generatormatrizen der Komponentencodes

Wir betrachten hier einen Produktcode entsprechend der Beschreibung auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes. Die beiden Komponentencodes $\mathcal{C}_1$ und $\mathcal{C}_2$ sind durch die rechts angegebenen Generatormatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ festgelegt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Grundlegendes zu den Produktcode.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Grundstruktur eines Produktcodes.
Die beiden Komponentencodes werden auch in der Aufgabe 4.6 behandelt.

Fragebogen

	Die Coderate von $\mathcal{C}_1$ ist $R_1 = 4/7$.
	Der Code $\mathcal{C}_1$ ist systematisch.
	$\mathcal{C}_1$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_1 = 3$.

	Die Coderate von $\mathcal{C}_2$ ist $R_2 = 4/7$.
	Der Code $\mathcal{C}_2$ ist systematisch.
	$\mathcal{C}_2$ ist ein verkürzter Hamming–Code.
	Die minimale Distanz dieses Codes ist $d_2 = 3$.

$k \hspace{0.25cm} = \ $

$n \hspace{0.25cm} = \ $

$d \hspace{0.25cm} = \ $

$R \hspace{0.15cm} = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

Die Anzahl der Zeilen der Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ gibt die Länge des Informationsblocks an ⇒ $k = 4$.
Die Codewortlänge ist gleich der Anzahl der Spalten ⇒ $n=4$ ⇒ Coderate $R = k/n = 4/7$.
Der Code ist systematisch, da die Generatormatrix $\mathbf{G}_1$ mit einer $4 × 4$–Diagonalmatrix beginnt.
Es handelt sich um einen "normalen" Hammingcode.
Für diesen gilt mit der Codewortlänge $n$ und der Anzahl der Prüfbits ⇒ $m = n - k$ der Zusammenhang $n = 2^m - 1$.
Im vorliegenden Fall handelt es sich um den (normalen) Hammingcode $\rm (7, \ 4, \ 3)$.
Der letzte Parameter in dieser Codebezeichnung gibt die minimale Distanz an ⇒ $d_{\rm min} = 3$.

(2) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 4:

Es handelt sich um einen verkürzten Hammingcode mit dem Parameter $n = 6, \ k = 3$ und $d_{\rm min} = 3$, ebenfalls in systematischer Form.
Die Coderate beträgt $R = 1/2$.

(3) Die Grundstruktur des Produktcodes ist auf der Seite Grundstruktur eines Produktcodes dargestellt.

Man erkennt den Informationsblock mit $k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot 3 \ \underline{= 12}$,
Die Codewortlänge ist die Gesamtzahl aller Bit: $n = n_1 \cdot n_2 = 7 \cdot 6 \ \underline{= 42}$.
Die Coderate ergibt sich somit zu $R = k/n = 12/42 = 2/7$.
Oder: $R = R_1 \cdot R_2 = 4/7 \cdot 1/2 \ \underline{= 2/7} \approx 0.289$.
Die freie Distanz beträgt $d = d_1 \cdot d_2 = 3 \cdot 3 \ \underline{= 9}$.