Exercise 1.4Z: Everything Rectangular

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Periodic rectangular signal and
filter with rectangular impulse response

We consider the periodic rectangular signal  $x(t)$ , whose periodic duration is  $T_0 = 2T$ , according to the sketch above.

  • This signal has spectral components at the fundamental frequency  $f_0 = 1/T_0 = 1/(2T)$  and at all odd multiples thereof, that is, at  $3f_0$,  $5f_0,$  and so on. In addition, there is a direct component.
  • For this purpose, we consider two filters  $\rm A$  and  $\rm B$  each with rectangular impulse response  $h_{\rm A}(t)$  with duration  $6T$  and  $h_{\rm B}(t)$  with duration  $5T$, respectively.
  • The heights of the two impulse responses are such that the areas of the rectangles each add up to  $1$ .




Please note:



Questions

1

Berechnen Sie das Ausgangssignal  $y_{\rm A}(t)$  von Filter  $\rm A$, insbesondere die Werte bei  $t = 0$  und  $t = T$.

$y_{\rm A}(t = 0) \ =\ $

 $\rm V$
$y_{\rm A}(t = T) \ =\ $

 $\rm V$

2

Geben Sie die Betragsfunktion  $|H_{\rm A}(f)|$  an.   Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz  $f = f_0$?
Interpretieren Sie das Ergebnis der Teilaufgabe  (1).

$|H_{\rm A}(f = f_0)| \ =\ $

3

Berechnen Sie das Ausgangssignal  $y_{\rm B}(t)$  von Filter  $\rm B$, insbesondere die Werte bei  $t = 0$  und  $t = T$.

$y_{\rm B}(t = 0) \ =\ $

 $\rm V$
$y_{\rm B}(t = T) \ =\ $

 $\rm V$

4

Wie lautet die Betragsfunktion  $|H_{\rm B}(f)|$, insbesondere bei den Frequenzen  $f = f_0$  und  $f = 3 · f_0$?
Interpretieren Sie damit das Ergebnis der Teilaufgabe  (3).

$|H_{\rm B}(f = f_0)| \ =\ $

$|H_{\rm B}(f = 3f_0)| \ =\ $


Solution

(1)  Das Ausgangssignal ist das Ergebnis der Faltungsoperation zwischen  $x(t)$  und  $h_{\rm A}(t)$:

$$y_{\rm A}(t) = x (t) * h_{\rm A} (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x ( \tau )} \cdot h_{\rm A} ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
  • Aufgrund der Rechteckfunktion und der Dauer  $6T$  kann hierfür auch geschrieben werden:
$$y_{\rm A}(t) = \frac{1}{6T}\cdot \int_{t-6T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  • Man erkennt, dass diese Gleichung für alle  $t$  das gleiche Ergebnis  $y_{\rm A}(t) \rm \underline{\: = 1V}$  liefert.


(2)  Der Betragsfrequenzgang lautet  $|H_{\rm A}(f)| = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 6T)|.$   Dieser weist Nullstellen im Abstand  $1/(6T)$  auf.

  • Somit liegen auch bei  $f_0$,  $3f_0$,  $5f_0$  usw. jeweils Nullstellen vor.
  • Insbesondere gilt auch  $|H_{\rm A}(f = f_0)| \underline{\: = 0}$.
  • Vom Spektrum  $X(f)$  bleibt somit nur der Gleichanteil  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$  unverändert erhalten.
  • Dagegen sind alle anderen Spektrallinien in  $Y_{\rm A}(f)$  nicht mehr enthalten.


rechts

(3)  Analog zur Teilaufgabe  (1)  kann man hier für das Ausgangssignal schreiben:

$$y_{\rm B}(t) = \frac{1}{5T}\cdot \int_{t-5T}^{t}x(\tau)\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  • Es ergibt sich ein um den Mittelwert  $1 \ \rm V$  schwankender dreieckförmiger Verlauf   ⇒   siehe untere Grafik.
  • Da jeweils zwei Rechtecke und drei Lücken ins Integrationsintervall fallen, gilt für  $t = 0,  t = 2T,$  usw.:
$$y_{\rm B}(t) = \frac{2\,{\rm V} \cdot 2T }{5T} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8\,{\rm V} =y_{\rm B}(t=0) }.$$
  • Bei  $t = T,\ 3T, \ 5T, $  usw. sind jeweils drei Rechtecke und zwei Lücken zu berücksichtigen: Man erhält:
$$y_{\rm B}(t) \underline{\: = 1.2 \: {\rm V}=y_{\rm B}(t=T)}.$$


(4)  Die Betragsfunktion lautet nun allgemein bzw. bei den Frequenzen  $f = f_0 = 1/(2T)$  und  $f = 3f_0$:

$$\begin{align*} |H_{\rm B}(f)| & = |{\rm si}(\pi \cdot f \cdot 5T)|, \\ |H_{\rm B}(f = f_0)| & = |{\rm si}(\pi \frac{5T}{2T})| = |{\rm si}(2.5\pi )| = \frac{1}{2.5 \pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.127}, \\ |H_{\rm B}(f = 3f_0)| & = |{\rm si}(7.5\pi )| = \frac{1}{7.5 \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=0.042}.\end{align*}$$

Interpretation:

  • Die Spektralanteile des Rechtecksignals bei  $f_0,  3f_0,$  usw. werden zwar nun nicht mehr unterdrückt, aber mit steigender Frequenz immer mehr abgeschwächt und zwar in der Form, dass der Rechteckverlauf in ein periodisches Dreiecksignal gewandelt wird.   Der Gleichanteil  $(1 \hspace{0.05cm} \rm V)$  bleibt auch hier unverändert.
  • Beide Filter liefern also den Mittelwert des Eingangssignals.   Beim vorliegenden Signal  $x(t)$  ist für die Bestimmung des Mittelwertes das Filter  $\rm A$  besser geeignet als das Filter  $\rm B$, da bei Ersterem die Länge der Impulsantwort ein Vielfaches der Periodendauer  $T_0 = 2T$  ist.
  • Ist diese Bedingung – wie beim Filter  $\rm B$ – nicht erfüllt, so überlagert sich dem Mittelwert noch ein (in diesem Beispiel dreieckförmiges) Fehlersignal.