Exercise 2.2: Multi-Level Signals

Two similar multi-stepped signals

Let the rectangular signal $x(t)$ be dimensionless and can only have the current values $0, \ 1, \ 2, \ \text{...} \ , \ M-2, \ M-1$ with equal probability. The upper graph shows this signal for the special case $M = 5$.

The rectangular zero mean signal $y(t)$ can also assume $M$ different values.

It is restricted to the range from $ -y_0 \le y \le +y_0$.
In the graph below you can see the signal $y(t)$, again for the level number $M = 5$.

Hints:

The exercise belongs to the chapter Moments of a Discrete Random Variable.
Fur numerical calculations, use $y_0 = \rm 2\hspace{0.05cm}V$.
The topic of this chapter is illustrated with examples in the (German language) learning video
"Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen" ⇒ "Calculating Moments for Discrete-Valued Random Variables"

Questions

Solution

(1) Man erhält durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:

$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$.

(2) Analog gilt für den quadratischen Mittelwert:

$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$.
Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:

$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.

(3) Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$:

$$m_x \;\underline{= 2}.$$

(4) Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang:

$$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$

Daraus folgt für die Varianzen:

$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür:

$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$

(1) One obtains by averaging over all possible signal values for the linear mean:

$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$

In the special case $M= 5$ the linear mean results in $m_x \;\underline{= 2}$.

(2) Analogously, for the root mean square:

$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M- 1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}. $$

In the special case $M= 5$ the root mean square results in $m_{2x} {=6}$.
From this, the variance can be calculated using Steiner's theorem:

$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$

In the special case $M= 5$ the result for the variance $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.

(3) Because of the symmetry of $y$ , holds independently of $M$:

$$m_x \;\underline{= 2}.$$

(4) Between $x(t)$ and $y(t)$ the following relation holds:

$$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$

From this it follows for the variances:

$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}- 1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}. $$

In the special case $M= 5$ this results in:

$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$