Exercise 5.2: Inverse Discrete Fourier Transform
Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den N Koeffizienten d(ν) – also den Abtastwerten des Zeitsignals x(t) – die N Spektralbereichskoeffizienten D(μ) berechnet. Mit ν = 0, ... , N – 1 und μ = 0, ... , N – 1 gilt:
$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet w den komplexen Drehfaktor:
$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
Für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) gilt entsprechend ⇒ „Umkehrfunktion” der DFT:
$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen D(μ) – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten d(ν) ermittelt werden. Es gilt somit stets N = 8. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen: Diskrete Fouriertransformation
Fragebogen
Musterlösung
$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$
$$\Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$
Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:
$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$
b) Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von D1 = D7 = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ ν ≤ 7:
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$
Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
$$d(\nu) & = & 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)\\ & \Rightarrow & \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$
Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
wobei fA die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet. c) Gegenüber Aufgabe b) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · fA anstelle von fA:
$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$
Damit beschreibt die Folge 〈d(ν)〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ ν ≤ 7:
$$d(\nu) & = & 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)\\ & \Rightarrow & \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0} \hspace{0.05cm}.$$
d) Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4fA kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz
$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$
und damit zu den Zeitkoeffizienten
$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15 cm}\underline{= -1} \hspace{0.05cm}.$$
Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten D(4) = 0.5 und D(-4) = 0.5 ergeben zusammen D(4) = 1. e) Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten D(μ) aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈d(ν)〉 entsprechend Teilaufgabe d) die um 1 nach oben verschobene Folge:
$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0} \hspace{0.05cm}.$$
