Exercise 3.10Z: Rayleigh? Or Rice?

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Does the present PDF describe Rayleigh or Rice?

The probability density function of the random variable  $x$  is given as follows:

$$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$

Correspondingly, for the associated distribution function:

$$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$

• It is known that the value  $x_0 = 2$  occurs most frequently.
• This also means that the PDF  $f_x(x)$  is maximum at  $x = x_0 $ .

Hints: This exercise belongs to the chapter  Further Distributions.

• Insbesondere wird auf die Seiten  Rayleighverteilung  und  Riceverteilung  Bezug genommen .

• You can check your results with interactive applet  PDF, CDF and moments of special distributions .
• Consider the following definite integral in the solution:

$$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$

Questions

1

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	Es handelt sich um eine riceverteilte Zufallsgröße.
	Es handelt sich um eine rayleighverteilte Zufallsgröße.
	Das Zentralmoment 3. Ordnung   ⇒   $\mu_3$  ist Null.
	Die Kurtosis hat den Wert  $K_x = 3$.

2

Welchen Zahlenwert hat hier der Verteilungsparameter  $\lambda$?

$\lambda \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  kleiner als  $x_0 = 2$  ist?

${\rm Pr}(x < x_0 ) \ = \ $ $\ \%$

4

Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße  $x$? Interpretation.

$m_x \ = \ $

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $x$  größer als sein Mittelwert  $m_x$?

${\rm Pr}(x > m_x) \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist allein der zweite Lösungsvorschlag.

• Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine Rayleighverteilung vor.
• Diese ist um den Mittelwert  $m_x$  unsymmetrisch, so dass  $\mu_3 \ne 0$  ist.
• Nur bei einer gaußverteilten Zufallsgröße gilt für die Kurtosis  $K = 3$.
• Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgeprägterer WDF–Ausläufer ein größerer Wert  $(K = 3.245)$, und zwar unabhängig von  $\lambda$.

(2)  Die Ableitung der WDF nach  $x$  liefert:

$$\frac{{\rm d} f_x(x)}{{\rm d} x} = \frac{\rm 1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({2 \lambda^{\rm 2}})}+\frac{ x}{ \lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{2 x}{2 \lambda^{\rm 2}}).$$

• Daraus folgt als Bestimmungsgleichung für  $x_0$  (nur die positive Lösung ist sinnvoll):

$$\frac{1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad \Rightarrow \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$

• Somit erhält man für den Verteilungsparameter  $\lambda = x_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.

(3)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle  $r = x_0 = \lambda$:

$${\rm Pr}(x<x_{\rm 0})={\rm Pr}( x \le x_{\rm 0})= F_x(x_{\rm 0})=1-{\rm e}^{-{\lambda^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}=1-{\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 39.3\%}.$$

(4)  Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$

• Der Mittelwert  $m_x$  ist natürlich größer als  $x_0$  $(=$ Maximalwert der WDF$)$, da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.

(5)  Allgemein gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(x>m_x)=1- F_x(m_x).$$

• Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis der Teilaufgabe  (4)  erhält man:

$${\rm Pr}(x>m_x)={\rm e}^{-{m_x^{\rm 2}}/({ 2\lambda^{\rm 2})}}={\rm e}^{-\pi/ 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 45.6\%}.$$