Exercise 5.5: Fast Fourier Transform
Die Grafik zeigt den Signalflussplan der DFT für $N$ = 8. Aus den Zeitkoeffizienten $d$(0), ... , $d$(7) werden die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D$(0), ... , $D$(7) ermittelt. Für diese gilt mit 0 ≤ μ ≤ 7:
$$D(\mu) = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu) \cdot {w}^{\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu}\hspace{0.05cm},$$
wobei der komplexe Drehfaktor $w = \text{exp}(–\text{j}2\pi /N)$ zu verwenden ist, also $\text{exp}(–\text{j}\pi /4)$ für $N$ = 8. Am Eingang wird die alternierende ±1–Folge 〈 $d(ν)$ 〉 angelegt. Nach der Bitumkehroperation ergibt sich daraus die Folge 〈 $b(κ)$ 〉. Es gilt $b(κ) = d(ν)$, wenn man $ν$ als Dualzahl darstellt und die resultierenden 3 Bit als $κ$ in umgekehrter Reihenfolge geschrieben werden. Beispielsweise
- folgt aus $ν$ = 1 (binär 001) die Position $κ$ = 4 (binär 100),
- verbleibt $d$(2) an der gleichen Position 2 (binär 010).
Der eigentliche FFT–Algorithmus geschieht für das Beispiel $N$ = 8 in log2 $N$ = 3 Stufen, die mit L = 1, 2 und 3 bezeichnet werden. Weiter gilt:
- In jeder Stufe sind vier Basisoperationen – sog. Butterflies – durchzuführen sind.
- Die Werte am Ausgang der ersten Stufe werden in dieser Aufgabe mit $X$(0), ... , $X$(7) bezeichnet, die der zweiten mit $Y$(0), ... , $Y$(7).
- Nach der dritten und letzten Stufe sind alle Werte noch durch $N$ zu dividieren.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil zu Kapitel 5.5.
Fragebogen
Musterlösung
$$\begin{align*}8 \cdot D(3) & = w^0 - w^3 + w^6- w^9+ w^{12}- w^{15}+ w^{18}- w^{21} \\ & = w^0 - w^3 + w^2- w^1+ w^{4}- w^{7}+ w^{6}- w^{5}\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
Hierbei ist berücksichtigt, dass aufgrund der Periodizität $w_9 = w_1$, $w_{12} = w_4$, $w_{15} = w_7$, $w_{18} = w_2$ und $w_{21} = w_5$ ist. Nach Umsortieren gilt in gleicher Weise
$$\begin{align*} 8 \cdot D(3) & = (w^0 + w^4) - (w^1 + w^5)+ (w^2 + w^6) - (w^3 + w^7) = \\ & = (1 + w + w^2+ w^3) \cdot (w^0 + w^4)\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
Wegen $w_0 = 1$ und $w_4 = \text{exp}(–\text{j} \cdot \pi) = –1$ erhält man somit $D$(3) = 0.
2. In analoger Weise zu 1) ergibt sich nun:
$$\begin{align*} 8 \cdot D(4) & = w^0 - w^4 + w^8- w^{12}+ w^{16}- w^{20}+ w^{24}- w^{28}= \\ & = 4 \cdot (w^0 - w^4)= 8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{D(4) = 1}\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
3. Der Term $w_0$ = 1 muss nicht berücksichtigt werden. Alle Ausgangswerte mit ungeraden Indizes sind somit durch die Subtraktion zweier identischer Eingangswerte gleich 0. Die erste Aussage trifft dagegen nicht zu: Es gilt $X$(0) = $X$(2) = +2 und $X$(4) = $X$(6) = –2 ⇒ Lösungsvorschlag 2.
4. Auf die Multiplikation mit $w_2$ = –j kann verzichtet werden, da im Signalflussplan die entsprechenden Eingangsgrößen 0 sind.
Man erhält somit $Y$(0) = 4 und $Y$(4) = –4. Alle anderen Werte sind 0.
5. Wegen $Y$(5) = $Y$(6) =$Y$(7) = 0 spielen auch in der dritten Stufe die Multiplikationen mit $w$, $w_2$ und $w_3$ keine Rolle. Alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ ergeben sich zu 0 mit Ausnahme von
$$\hspace{0.15 cm}\underline{D(4)} = {1}/{N}\cdot \left[Y(0) - Y(4) \right ] \hspace{0.15 cm}\underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen aus 1) und 2) überein.
6. Nachdem sowohl die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ als auch alle Spektralkoeffizienten $D(\mu)$ rein reell sind, besteht kein Unterschied zwischen der FFT und der IFFT. Das bedeutet gleichzeitig: die Eingangs– und Ausgangswerte können vertauscht werden. Die Teilaufgabe 5) hat das folgende Ergebnis geliefert:
$$d({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\nu) = +1, \hspace{0.2cm}d({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\nu)= -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}D(\mu = 4)= 1,\hspace{0.2cm}D(\mu \ne 4)= 0.$$
Durch Vertauschen der Eingangs– und Ausgangswerte kommt man zur Aufgabenstellung von (6):
$$d(\nu = 4)= 1, \hspace{0.2cm}d(\nu \ne 4)= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}D({\rm gerades}\hspace{0.15cm}\mu) = +1, \hspace{0.2cm}D({\rm ungerades}\hspace{0.15cm}\mu)= -1 \hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere würde sich $D$(3) = –1 und D(4) = +1 ergeben.
