Exercise 4.8: Diamond-shaped Joint PDF

Diamond shaped joint PDF

We consider a 2D–random variable $(x, y)$ whose components arise respectively as linear combinations of two random variables $u$ and $v$ :

$$x=2u-2v+1,$$

$$y=u+3v.$$

Further, note:

The two statistically independent random variables $u$ and $v$ are each equally distributed between $0$ and $1$.
In the figure you can see the 2D–PDF. Within the parallelogram drawn in blue holds:

$$f_{xy}(x, y) = H = {\rm const.}$$

Outside the parallelogram no values are possible: $f_{xy}(x, y) = 0$.

Hints:

The exercise belongs to the chapter Linear_Combinations of Random Variables.
Reference is also made to the page regression line.
We also refer here to the interactive applet [Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Correlation coefficient and regression line]]
Assume - if possible - the given equations Use the information of the above sketch mainly only to check your results.

Questions

$H \ = \ $

$u \ = \ $

$v \ = \ $

$\rho_{xy}\ = \ $

$y_0\ = \ $

${\rm Pr}(x < 0)\ = \ $

${\rm Pr}(y > 3)\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Die Fläche des Parallelogramms kann aus zwei gleich großen Dreiecken zusammengesetzt werden.

Die Fläche des Dreiecks $(1,0)\ (1,4)\ (-1,3)$ ergibt $0.5 · 4 · 2 = 4$.
Die Gesamtfläche ist doppelt so groß: $F = 8$.
Da das WDF–Volumen stets $1$ ist, gilt $H= 1/F\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.

(2) Der minimale Wert von $x$ ergibt sich für $\underline{ u=0}$ und $\underline{ v=1}$.

Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse $x= -1$ und $y= +3$.

(3) Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein, also für jede beliebige WDF der beiden statistisch unabhängigen Größen $u$ und $v$,

so lange diese gleiche Streuungen aufweisen $(\sigma_u = \sigma_v)$.

Mit $A = 2$, $B = -2$, $D = 1$ und $E = 3$ erhält man:

$$\rho_{xy } = \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$

(4) Die Korrelationsgerade lautet allgemein:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$

Aus den linearen Mittelwerten $m_u = m_v = 0.5$ und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erhält man $m_x = 1$ und $m_y = 2$.

Die Varianzen von $u$ und $v$ betragen jeweils $\sigma_u^2 = \sigma_v^2 =1/12$. Daraus folgt:

$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$

$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$

Setzt man diese Werte in die Gleichung der Korrelationsgeraden ein, so ergibt sich:

$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - x/{2} + 2.5.$$

Daraus folgt der Wert $y_0=K(x=0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.5}$

(5) Mit den Hilfsgrößen $q= 2u$, $r= -2v$ und $s= x-1$ gilt der Zusammenhang: $s= q+r$.

Da $u$ und $v$ jeweils zwischen $0$ und $1$ gleichverteilt sind, besitzt $q$ eine Gleichverteilung im Bereich von $0$ bis $2$ und $r$ ist gleichverteilt zwischen $-2$ und $0$.

Da zudem $q$ und $r$ nicht statistisch voneinander abhängen, gilt für die WDF der Summe:

Dreieckförmige WDF $f_x(x)$

$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$

Die Addition $x = s+1$ führt zu einer Verschiebung der Dreieck–WDF um $1$ nach rechts.
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (im folgenden Bild grün hinterlegt) gilt deshalb: ${\rm Pr}(x < 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.

Trapezförmige WDF $f_y(y)$

(6) Analog zur Musterlösung für die Teilaufgabe (5) gilt mit $t = 3v$:

$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$

Die Faltung zwischen zwei verschieden breiten Rechtecken ergibt ein Trapez.
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man ${\rm Pr}(y>3) =1/6\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.167}$.
Diese Wahrscheinlichkeit ist in der rechten Skizze grün hinterlegt.