Exercise 1.2: A Simple Binary Channel Code
From LNTwww
Verdeutlichung der Kanal(de)codierung
Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung $\mathcal{C}$:
- Es gibt vier mögliche Informationsblöcke $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , u_{k})$.
- Jeder Informationsblock $\underline{u}$ wird eindeutig (erkennbar an der gleichen Farbe) dem Codewort $\underline{x}= (x_{1}, x_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , x_{n})$ zugeordnet.
- Aufgrund von Decodierfehlern $(0 → 1, \ 1 → 0)$ gibt es mehr als 4, nämlich 16 verschiedene Empfangsworte $\underline{y} = (y_{1}, y_{2}, \text{...} \hspace{0.05cm} , y_{n})$.
Ab Teilaufgabe (4) betrachten wir folgende Zuordnung:
- $$\underline{u_0} = (0, 0) \leftrightarrow (0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{u_1} = (0, 1) \leftrightarrow (0, 1, 0, 1) = \underline{x_1}\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{u_2} = (1, 0) \leftrightarrow (1, 0, 1, 0) = \underline{x_2}\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{u_3} = (1, 1) \leftrightarrow (1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zielsetzung der Kanalcodierung
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Codeumfang ist hier zu $|\mathcal{C}| = 4$ gegeben.
- Allgemein gilt $|\mathcal{C}|= 2^k$.
- Daraus folgt $\underline{ k = 2}$.
(2) Jedes Codewort $\underline{x}$ ist eineindeutig einem Informationsblock $\underline{u}$ zugeordnet.
- Durch Verfälschungen einzelner der insgesamt $n$ Bit eines Codewortes $\underline{x}$ ergeben sich die Empfangsworte $\underline{y}$.
- Aus der Anzahl $(16 = 2^4$) der möglichen Empfangsworte folgt $\underline{ n = 4}$.
(3) Die Coderate ist per Definition $R = k/n$.
- Mit den obigen Ergebnissen erhält man $\underline{R = 0.5}$.
(4) Richtig ist Ja:
- Ein systematischer Code zeichnet sich dadurch aus, dass jeweils die ersten $k$ Bit der Codeworte identisch sind mit dem Informationsblock.
(5) Das Hamming–Gewicht eines binären Codes ist gleich der algebraischen Summe $x_1 + x_2 + \text{...} + x_n$ über alle Codewortelemente. Damit gilt:
- $$w_{\rm H}(\underline{x}_0) \hspace{0.15cm} \underline {= 0} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}.$$
(6) Die Hamming–Distanz zwischen zwei Codeworten kann hier nur die Werte $2$ und $4$ annehmen:
- $$d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm},$$
- $$ d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.$$
(7) Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (6) folgt $d_{\rm min}(\mathcal{C}) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.
- Allgemein gilt für diese Größe:
- $$d_{\rm min}(\mathcal{C}) = \min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.$$
