Exercise 1.08Z: Equivalent Codes

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Four  $(6, 3)$ block codes

In the graph, the mappings  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$  for different codes are given, each characterized below by the generator matrix  $\boldsymbol{\rm G}$  and the parity-check matrix  $\boldsymbol{\rm H}$  respectively:

• ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$

• ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:

$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

This task is to investigate which of these codes or code pairs are

• are systematic,
• are identical  (that is:   Different codes have same code words),
• are equivalent  (that is:   Different codes have same code parameters).

Hints :

• This exercise belongs to the chapter  General Description of Linear Block Codes.
• Reference is made in particular to the pages  Systematic Codes  and  Identical Codes.
• Note that the specification of a parity-check matrix  $\boldsymbol{\rm H}$  is not unique.
• If one changes the order of the parity-check equations, this corresponds to a swapping of rows.

Questions

1

Which of the codes listed below are systematic?

	Code  $\rm A$,
	Code  $\rm B$,
	Code  $\rm C$,
	Code  $\rm D$.

2

Which of the given code pairs are identical?

	Code  $\rm A$  and code  $\rm B$,
	Code  $\rm B$  and code  $\rm C$,
	Code  $\rm C$  and code  $\rm D$.

3

Which of the given code pairs are equivalent but not identical?

	Code  $\rm A$  and code  $\rm B$,
	Code  $\rm B$  and code  $\rm C$,
	Code  $\rm C$  and code  $\rm D$.

4

How do the generator matrices  $G_{\rm B}$  and  $G_{\rm C}$ differ?

	By different linear combinations of different rows.
	By cyclic shifting of rows by  $1$  down.
	By cyclic shifting of columns by  $1$  to the right.?

5

For which codes applies  ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?

	Code  $\rm A$,
	Code  $\rm B$,
	Code  $\rm C$,
	Code  $\rm D$.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Antworten 1, 3 und 4:

• Für einen systematischen (6, 3)–Blockcode muss gelten:

$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Bedingung erfüllen Code A, Code C und Code D, nicht aber Code B.

(2)  Richtig ist nur Antwort 1:

• Nur Code A und Code B sind identische Codes. Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
• Wie in der Musterlösung zur Aufgabe A1.8 (3) angegeben, gelangt man von der Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ zur Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$

• allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen, oder
• durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.

(3)  Richtig ist somit allein Antwort 2:

• Code A und Code B sind mehr als äquivalent, nämlich identisch.
• Code C und D unterscheiden sich zum Beispiel auch durch die minimale Hamming–Distanz $d_{\rm min} = 3$ bzw. $d_{\rm min} = 2$ und sind somit auch nicht äquivalent.
• Code B und Code C zeigen dagegen gleiche Eigenschaften, beispielsweise gilt für beide $d_{\rm min} = 3$. Sie beinhalten aber andere Codeworte.

(4)  Richtig ist Antwort 3:

• Die letzte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
• Die erste Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
• Die zweite Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$ ergibt die dritte Spalte von ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$, usw.

(5)  Alle Aussagen treffen zu:

• Die Bedingung ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$ gilt für alle linearen Codes.