Exercise 5.8Z: Falsification of BMP Images
We assume here the following images in the format 160x120 (pixels):
- the image "White" with the color depth "1 BPP" (one bit per pixel) and
- the image "Earth" with "24 BPP", even if only a few of the $2^{24}$ possible colors are used here.
The image "W1" was created by falsification with a Gilbert–Elliott model using the following parameters:
- $$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
Thus, we obtain for the mean error probability
- $$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} = 0.01 \hspace{0.05cm},$$
and for the error correlation duration
- $$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 \approx 8 \hspace{0.05cm}.$$
The image "W2" entstand nach Verfälschung mit den GE–Parametern
- $$p_{\rm B} = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B})= 0.01, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.0005\hspace{0.05cm}.$$
Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand "$\rm G$" wurde so gewählt, dass die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ beträgt.
Die beiden unteren Bilder "E3" und "E4" können entstanden sein durch Verfälschung mit
- dem BSC–Modell $(p = 0.01)$,
- demjenigen GE–Modell, das zu "W1" geführt hat,
- demjenigen GE–Modell, das zu "W2" geführt hat.
Dies zu klären, ist Ihre Aufgabe. Eine der Antworten ist jeweils richtig.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Applications for Multimedia Files".
- Alle Bilder wurden mit dem Windows–Programm Digitale Kanalmodelle & Multimedia erzeugt.
Der angegebene Link verweist auf die Zip–Version dieses Programms.
Fragebogen
Musterlösung
- $$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{p_{\rm M} \cdot \big[{\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}+ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)\big] - p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) } = \frac{ 0.01 \cdot [0.01+0.0005] - 0.2 \cdot 0.0005}{0.01} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.05\%}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Mit der angegebenen Gleichung erhält man:
- $$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 =\frac{1}{0.0105}-1\hspace{0.15cm}\underline {\approx 94.2}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Das Bild "Weiß" besteht aus $160 \cdot 120 = 19200 \ \rm Pixel$ und wird wegen der Farbtiefe $1 \ \rm BPP$ auch durch $19200 \ \rm Bit$ beschrieben.
- Mit der mittleren Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.01$ sind in beiden Bildern ("W1" und "W2") jeweils $N_{\rm W} \underline{= 192}$ Bitfehler zu erwarten.
(4) Bei gleicher Bildgröße und Fehlerwahrscheinlichkeit gibt es wegen der Farbtiefe $24 \ \rm BPP$ nun deutlich mehr Bitfehler, nämlich
- $$N_{\rm E} = 24 \cdot 192 \ \underline{= 4608}.$$
(5) Richtig ist Antwort 1:
- Das Bild "E3" zeigt die typische Struktur statistisch unabhängiger Fehler.
(6) Richtig ist Antwort 3:
- Das Bild "E4" zeigt eine typische Bündelfehlerstruktur.
- Verwendet wurde hierbei das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 94$, das auch für "W2" verwendet wurde.
- Da aber nun jedes einzelne Pixel durch $24 \ \rm Bit$ dargestellt wird, ergibt sich die mittlere Fehlerkorrelationsdauer (bezogen auf Pixel) nur etwa zu ${D_{\rm K}}' = 4$.
- Das GE–Modell mit $D_{\rm K} \approx 8$ (bezogen auf Bit) würde bei einem $24 \ \rm BPP$–Bild etwa so aussehen wie das auf dem BSC–Modell basierende Bild "E3".
- Bezogen auf Pixel ergäben sich dann eher statistisch unabhängige Fehler.
