Exercise 3.12: Path Weighting Function

Faltungscodierer mit $m = 1$ und Zustandsübergangsdiagramm

In Aufgabe 3.6 wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften

Rate $R = 1/2$,
Gedächtnis $m = 1$,
Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$

ermittelt, das rechts dargestellt ist.

Aus diesem Zustandsübergangsdiagramm soll nun

die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$, und
die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$

bestimmt werden, wobei $X$ und $U$ Dummy–Variablen sind.

Die Vorgehensweise ist im Theorieteil zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus $T(X)$ noch die freie Distanz $d_{\rm F}$ zu bestimmen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

Zustandsübergangsdiagramm nach Modifikationen

(1) Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5 richtig sind:

Der Zustand $S_0$ muss in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand ${S_0}'$ aufgespalten werden.
Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen.
Jedes Codesymbol $x ∈ \{0, \, 1\}$ wird durch $X^x$ dargestellt, wobei $X$ eine Dummy–Variable hinsichtlich der Ausgangssequenz ist: $x = 0 \ \Rightarrow \ X^0 = 1, \ x = 1 \ \Rightarrow \ X^1 = X.$ Daraus folgt weiter $(00) \ \Rightarrow \ 1, \ (01) \ \Rightarrow \ X, \ (10) \ \Rightarrow \ X, \ (11) \ \Rightarrow \ X^2$.
Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm – dies steht für $u_i = 1$ – ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im Theorieteil ein "Ring". Daraus folgt:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} \hspace{0.05cm}.$$

Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

(3) Man kommt von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion zu $T(X)$, indem der Formalparameter $U = 1$ gesetzt wird. Richtig sind also beide Lösungsvorschläge.

(4) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ als der niedrigste Exponent der Dummy–Variablen $X$ ablesen ⇒ $d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.

	Der Zustand $S_0$ muss in $S_0$ und $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden.
	Der Zustand $S_1$ muss in $S_0$ und $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden.
	Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist mit $U\hspace{-0.05cm}X^2$ zu beschriften.
	Der Übergang von $S_1$ nach $S_1$ ist mit $U\hspace{-0.05cm}X$ zu beschriften.
	Der Übergang von $S_1$ nach $S_0\hspace{0.01cm}'$ ist mit $X$ zu beschriften.

	$T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3/(1 \, –UX)$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$

	$T(X) = X^3/(1 \, –X)$,
	$T(X) = X^3 + X^4 + X^5 +\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$