Theorem von Wiener-Chintchine
Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im Kapitel 4.4 gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:
- Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess { $x_i(t)$}. Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
- Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab:
$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$
Diese Funktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses { $x_i(t)$} im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die spektrale Leistungsdichte, häufig auch als Leistungsdichtespektrum (LDS) bezeichnet.
Das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses { $x_i(t)$} ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF): $${\Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\pi} f \tau} {\rm d} \tau. $$ Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von Wiener und Chintchine.
Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Kapitel 3.1 des Buches „Signaldarstellung”):
$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} \Phi_x(f) \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$
Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet. Andernfalls muss man nach den Angaben auf Seite 4 dieses Abschnitts vorgehen: Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente.
Physikalische Interpretation und Messung
Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums $Φ_x(f)$.
Hierzu ist folgendes anzumerken:
- Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
- Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f – Δf/2$ bis $f + Δf/2$:
$$P_{xf} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f(t)^2 \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
- Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:
$${\Phi_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{xf}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} \Phi_{x}(f) = \frac{P_{xf}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$
- Hierbei bezeichnet $Φ_{x+}(f) = 2 · Φ_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist $Φ_{x+}(f) =$ 0. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: $Φ_x(–f) = Φ_x(f)$.
- Während die Leistung $P_{xf}$ mit kleiner werdender Bandbreite $Δf$ gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von $Δf$ nahezu konstant.
- Für die exakte Bestimmung von $Φ_x(f)$ sind zwei Grenzübergänge notwendig:
$${\Phi_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das LDS stets reell ist und nie negativ werden kann. Die gesamte Signalleistung von $x(t)$ erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:
$$P_x = \int^{\infty}_{0}\Phi_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}\Phi_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
