Definition der Korrelationsfunktionen
Wichtige Beurteilungskriterien für Spreizfolgen sind die Korrelationsfunktionen. Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$, so gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) der beiden Prozesse (siehe Kapitel 4.6 im Buch „Stochastische Signaltheorie”): $$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$
Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine Zeitmittelung.
$φ){xy}(τ)$ ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t + τ)$ der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen. Es gilt:
- Sind $x(t)$ und $y(t)$ unkorreliert, so ist $φ_{xy}(τ)$ identisch 0 (das heißt für alle Werte von $τ$).
- Im allgemeinen ist $φ_{xy}(τ)$ nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum tritt bei $τ_{\rm max} ≠$ 0 auf.
- In diesem Fall ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit $τ_{\rm max}$.
Setzt man in obiger Gleichung $y(t) = x(t)$, so kommt man zur Autokorrelationsfunktion (AKF)
$$ \varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$$
mit folgenden Eigenschaften:
- Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion $x(t)$ festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
- Ist $x(t)$ reell, so ist $φ_{xx}(τ)$ eine reelle gerade Funktion: $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$. Phasenbeziehungen gehen in der AKF verloren. Beschreibt $x(t)$ einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.
- Der Maximalwert der AKF liegt bei $τ =$ 0. Es gilt stets $|φ_{xx}(τ)| ≤ φ_{xx}(0),$ wobei $φ_{xx}(0)$ die Signalleistung $P_x = E[x^2(t)]$ angibt.
- Der Gleichanteil eines Signals kann aus dem Grenzwert $(τ → ∞)$ ermittelt werden, so lange das Signal keine periodischen Anteile beinhaltet:
$$\overline{ x(t)} = {\rm E}[x(t)] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$$
AKF und KKF beschreiben die inneren Bindungen bzw. die gegenseitigen statistischen Abhängigkeiten im Zeitbereich. Die entsprechenden Beschreibungsfunktionen im Frequenzbereich sind
- das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xx}(f)$, sowie
- das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xy}(f)$.
Bei ergodischen Prozessen ergeben sich diese als die Fouriertransformierten von AKF und KKF:
$${\it \Phi}_{xx}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xx}(\tau)\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{xy}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xy}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
