Exercise 1.6Z: Interpretation of the Frequency Response

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Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form

$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t )$$ veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.

Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.

Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet: $$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$ Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig: $$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi f_i t ) .$$ Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 1.3. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.

Fragebogen

1

Welcher Tiefpass liegt hier vor?

	Idealer Tiefpass.
	Spalttiefpass.
	Gaußtiefpass.

2

Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.

$\Delta f =$ kHz

3

Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?

	Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.
	Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.
	Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.

4

Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?

	$A_0 =$ 0.
	$A_0 =$ 1 V.
	$A_2 =$ 0.
	$A_2 =$ 1 V.
	$A_4 =$ 0.
	$A_4 =$ 1 V.

5

Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.

$A_1 =$ V

$A_3 =$ {-0.215--0.205 } V

Musterlösung

Solution

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)