Exercise 1.1: A Special Dice Game
A1.1 Würfelspiel Mäxchen
Bei dem Würfelspiel Mäxchen wird jeweils mit zwei Würfeln geworfen. Die höhere Augenzahl der beiden Würfel wird mit 10 multipliziert und dann die niedrigere Augenzahl dazu addiert. Beispielsweise liefert eine „2“ und eine „4“ das Spielresultat 42 und eine „5“ und eine „6“ das Ergebnis 65. Das kleinstmögliche Resultat eines Wurfes ist somit 31.
Ein Pasch (zweimal die gleiche Augenzahl) wird im Allgemeinen höher bewertet als zwei ungleiche Würfel. So ist ein Einser-Pasch höher als 65, aber niedriger als jeder andere Pasch. Eine Sonderstellung nimmt bei diesem Spiel das Mäxchen (eine „1” und eine „2”) ein. Diese im Bild dargestellte Kombination steht noch über dem Sechser-Pasch.
Der Spieler $X$ beginnt. Er gewinnt, wenn der Spieler $Y$ das vorgelegte Resultat nicht überbieten kann. Die weiteren vielfältigen Optionen dieses Spiels werden hier nicht berücksichtigt.
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Lehrstoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
Fragebogen
Musterlösung
2. Es sind hier I = 21 unterschiedliche Resultate möglich. Diese sind (beim niedrigsten beginnend): 31, 32, 41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 21.
3. Die 21 möglichen Resultate dieses Würfelspiels sind allerdings nicht gleichwahrscheinlich, deshalb können die Wahrscheinlichkeiten auch nicht nach der klassischen Definition (mit Ergebnis: 1/21) ermittelt werden. Macht man zumindest gedanklich eine Unterscheidung zwischen den Würfeln, zum Beispiel durch einen blauen ($B$) und einen roten ($R$) Würfel, so gibt es $6^{2} = 36$ gleichwahrscheinliche Ereignisse, unter Anderem das Ereignis $[Sechser-Pasch] = (B = 6) \cap (R = 6)$. Bei beiden Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ gleich 1/6. Da die Augenzahlen der beiden Würfel natürlich statistisch unabhängig sind, ist
$Pr[Sechser-Pasch] = Pr(B = 6 \cap R = 6) = 1/36 = 0.0278$
"Anmerkung": Aus der Namensgebung Resultat könnte man fälschlicherweise schließen, dass es sich hierbei um ein Ergebnis handelt. Entsprechend den Definitionen in Kapitel 1.1 ist das Resultat aber als ein Ereignis (Zusammenfassung von Ergebnissen) zu betrachten.
4. Diese Wahrscheinlichkeit kann mit $K = 6$ und $M = 36$ wie folgt angegeben werden:
$Pr[irgendein Pasch] = Pr(B = R) = K/M = 1/6 = 0.1667$.
5. Analog ist die Wahrscheinlichkeit für das Mäxchen mit $K = 2$ und $M = 36$ berechenbar:
$Pr[Mäxchen] = Pr(B = 1 \cap R = 2) + Pr(b = 2 \cap R = 1) = 1/18 = 0.0556$.
6. Die Wahrscheinlichkeit, dass $Y$ gewinnt, wenn $X$ das Ergebnis „53” vorgelegt hat, ist $5/9$.
Als Musterlösung dieser Teilaufgabe gibt es mit «Weiter» eine kurze Videosequenz (Dauer 1:40).
7. Zur Lösung dieser Teilaufgabe gehen wir wieder von einer zweidimensionalen Darstellung aus und reihen die Matrixelemente entsprechend ihren Wertigkeiten (siehe Bild):
Daraus ist zu ersehen, dass man mit der Vorgabe „$65$” dem Gegenspieler nur eine Gewinnchance von $8/36 = 0.222$ lässt. Damit ist seine eigene Gewinnchance etwa $77.8%$. Mit „$64$” wäre die Gewinnchance von Spieler $X$ nur ca. $72.2%$. Die richtige Lösung ist somit $R_\min = 65$.
