Exercise 1.6: Transition Probabilities

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Rechts sehen Sie 20 Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$. Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn ($ν = 0$) das Ereignis $A$ überwiegt, zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ eintritt.

Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:

$Pr(A_\text{v=0}) \approx 0.9; Pr(A_\text{v=1}) \approx 0.15; Pr(A_\text{v>4}) \approx 0.4$

Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette zu ermitteln.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 1.4. Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:

Fragebogen

1

Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν = 9$, wenn man nur die 20 dargestellten Realisierungen berücksichtigt?

$Pr(A_\text{v=0})$ =

$Pr(A_\text{v=1})$ =

$Pr(A_\text{v=9})$ =

2

Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?

	Nach $A$ ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.
	Sowohl nach $A$ als auch nach $B$ kann wieder $A$ oder $B$ folgen.
	Die Folge $B B B B ...$ ist nicht möglich.

3

Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere $Pr(A | A)$ und $Pr(B | B)$?

$Pr(A|A)$ =

$Pr(B|B)$ =

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils $B$ sind?

$Pr(B_0, ... , B_9)$ = $* 10^{}$^

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge $A B B A$ erzeugt wird?

$Pr(A B B A)$ =

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.