Exercise 3.11: Chebyshev's Inequality

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Ist über eine Zufallsgröße x nichts weiter bekannt als nur der Mittelwert m_x und die Streuung σ_x, so gibt die Tschebyscheffsche Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass x betragsmäßig mehr als einen Wert ε von seinem Mittelwert m_x abweicht:

$$\rm Pr(|\it x-m_x|\ge \varepsilon)\le \it \frac{\sigma_x^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}.$$

In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet. Der grüne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bei der Gleichverteilung, die blauen Punkte gelten für die Exponentialverteilung. Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die Tschebyscheffsche Ungleichung nur eine sehr grobe Schranke darstellt. Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn von der Zufallsgröße wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Tschebyscheffsche Ungleichung im Kapitel 3.7.

Nachfolgend finden Sie eine Tabelle mit Werten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit Pr(|x - mx | ≥ 3σx) = 1/4.
	„Tschebyscheff” liefert für ε < σx keine Information.
	Pr(|x - mx | ≥ ε) ist für große ε identisch 0, wenn x begrenzt ist.

2

Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit p_k = Pr(|x – m_x| ≥ k · σ_x) für die Gaußverteilung an (mit k = 1, 2, 3, 4). Wie groß ist p₃?

$Pr(|x - m_x| ≥ 3\sigma_x)$ =

3

Wie lauten diese Überschreitungswahrscheinlichkeiten p_k (k = 1, 2, 3, 4) bei der Exponentialverteilung. Hier gilt: m_x = σ_x = 1/λ. Wie groß ist p₃?

$Pr(|x - m_x| ≥ 3\sigma_x)$ =

Musterlösung

Solution

1.  Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke 1/9. Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit größer sein.

Für ε < σ_x liefert Tschebyscheff einen Wert größer als 1. Da eine Wahrscheinlichkeit nie größer als 1 sein kann, ist diese Information nutzlos.

Auch die letzte Aussage ist zutreffend. Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:

$$\rm Pr(|\it x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 2 und 3

2.  Bei der Gaußverteilung gilt:

$$p_k=\rm Pr(|\it x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern: Schranke nach Tschebyscheff):

$$k=\rm 1: \rm Pr(|\it x-m_x| \ge \sigma_{x}) = \rm 0.317 \hspace{0.3cm}(1.000),$$

$$k=\rm 2: \rm Pr(|\it x-\it m_x| \ge \rm 2\it \cdot\sigma_{x}) = \rm 0.454\cdot 10^{-1} \hspace{0.3cm}(0.250),$$

$$k=\rm 3: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 3\cdot\it \sigma_{x}) \hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.26\cdot 10^{-2}} \hspace{0.45cm}\rm (0.111),$$

$$k=\rm 4: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 4\cdot\it \sigma_{x}) = \rm 0.64\cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm}(0.0625).$$

3.  Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit setzen wir λ = 1

 ⇒  m_x = σ_x = 1. Dann gilt:

$$\rm Pr(|\it x - \it m_x| \ge \it k\cdot\sigma_{x}) = \rm Pr(|\it x-\rm 1| \ge \it k).$$

Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße x stets größer als 0 ist, gilt weiter:

$$\it p_k= \rm Pr(\it x \ge k+\rm 1)=\int_{\it k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm} \rm e^{-\it x}\, {\rm d}\it x=\rm \rm e^{-(\it k + \rm 1)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte für die Exponentialverteilung:

$$k=\rm 1: \rm Pr(|\it x-m_x| \ge \sigma_{x}) = \rm \rm e^{-2}= \rm 0.1353,$$

$$k=\rm 2: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 2\it \cdot\sigma_{x}) = \rm \rm e^{-3}=\rm 0.0497 ,$$

$$k=\rm 3: \rm Pr(|\it x-\it m_x| \ge \rm 3\cdot\it \sigma_{x}) = \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 0.0183 },$$

$$k=\rm 4: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 4\cdot\it \sigma_{x}) = \rm \rm e^{-5}= \rm 0.0067.$$