Exercise 4.15: PDF and Covariance Matrix

Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße x, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix K_x in der Grafik oben angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:

Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:

$$K_{ij} = \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij}.$$

Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:

$$ K_{11} =1, K_{22} =0, K_{33} =0.25.$$

Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten x₁ und x₃ beträgt 0.8.

Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße y mit den beiden Komponenten y₁ und y₂ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix K_y durch die angegebenen Zahlenwerte (1, 0.4 und 0.25) bestimmt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße y lautet gemäß den Angaben auf der Seite Kovarianzmatrix und WDF mit N = 2:

$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y}) = \frac{1}{{(2 \pi) \cdot \sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm exp}{\left(-\frac{1}{2}\cdot \mathbf{y} ^{\rm T}\cdot\mathbf{K_y}^{-1} \cdot \mathbf{y} \right)}= \\ = C \cdot {\rm exp}{\left(-\gamma_1 \cdot y_1^2 + \gamma_2 \cdot y_2^2 +\gamma_{12} \cdot y_1 \cdot y_2 \right)}.$$

In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor C und die weiteren WDF-Koeffizienten γ₁, γ₂ und γ₁₂ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden. Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend Kapitel 4.2 lauten:

$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 (1-\rho^{\rm 2})}\cdot(\frac { y_1^{\rm 2}}{\sigma_1^{\rm 2}}+\frac { y_2^{\rm 2}}{\sigma_2^{\rm 2}}-\rm 2\rho \frac{{\it y}_1{\it y}_2}{\sigma_1 \cdot \sigma_2}) \rm \Bigg].$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.7. Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den folgenden Seiten:
Determinante einer Matrix,
Inverse einer Matrix.

Fragebogen

	Die Zufallsgröße x ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
	Die Matrixelemente K₁₂, K₂₁, K₂₃ und K₃₂ sind 0.
	Es gilt K₃₁ = –K₁₃.

$K_\text{31}$ =

$|K_y|$ =

$I_\text{11}$ =

$I_\text{12}$ =

$I_\text{21}$ =

$I_\text{22}$ =

$C$ =

$\gamma_1$ =

$\gamma_2$ =

$\gamma_12$ = -

Musterlösung

Solution

1. Anhand der Kovarianzmatrix K_x ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße x mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert m herausgerechnet wird. Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix R_x bekannt sein. Aus K₂₂ = (σ₂)² = 0 folgt zwingend, dass alle Elemente in der zweiten Zeile (K₂₁, K₂₃₎ und der zweiten Spalte (K₁₂, K₃₂₎ ebenfalls 0 sind. Dagegen ist die dritte Aussage falsch: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets K₃₁ = K₁₃ gelten muss. Richtig ist nur der Vorschlag 2.

2. Aus K₁₁ = 1 und K₃₃ = 0.25 folgen direkt σ₁ = 1 und σ₃ = 0.5. Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten ρ₁₃ = 0.8 (siehe Angabenblatt) erhält man somit:

$$K_{13} = K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$

3. Die Determinante der Matrix K_y lautet:

$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$

4. Entsprechend den Angaben auf der Seite „Determinante und inverse Matrix” gilt:

$${\mathbf{I_y}} = {\mathbf{K_y}}^{-1} = \frac{1}{|{\mathbf{K_y}}|}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 0.25 & -0.4 \\ -0.4 & 1 \end{array} \right].$$

Mit |K_y| = 0.09 gilt deshalb weiter:

$$I_{11} = \frac{25}{9}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.777};\hspace{0.3cm} I_{12} = I_{21} ='"`UNIQ--h-0--QINU`"'-\frac{40}{9} \hspace{0.15cm}\underline{ = -4.447};\hspace{0.3cm}I_{22} = \frac{100}{9} \hspace{0.15cm}\underline{= 11.111}.$$

5. Ein Vergleich der Matrizen K_y und K_x unter der Nebenbedingung K₂₂ = 0 zeigt, dass x und y identische Zufallsgrößen sind, wenn man y₁ = x₁ und y₂ = x₃ setzt. Somit gilt für die WDF-Parameter:

$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho = 0.8.$$

Der Vorfaktor entsprechend Kapitel 4.2 ist somit:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6}= \frac{1}{0.6 \cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$

Mit der in der Teilaufgabe 3) berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:

$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$

6. Die unter Punkt 4) berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:

$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right].$$

Somit lautet das Argument A der Exponentialfunktion:

$$A = \frac{5}{18}\cdot{\mathbf{y}}^{\rm T}\cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & -8 \\ -8 & 20 \end{array} \right]\cdot{\mathbf{y}} =\frac{5}{18}\left( 5 \cdot y_1^2 + 20 \cdot y_2^2 -16 \cdot y_1 \cdot y_2\right).$$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

$$\gamma_1 = \frac{25}{18} \approx 1.389; \hspace{0.3cm} \gamma_2 = \frac{100}{18} \approx 5.556; \hspace{0.3cm} \gamma_{12} = - \frac{80}{18} \approx -4.444.$$

Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:

$$\gamma_1 =\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot \sigma_1^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 1 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 1.389},$$

$$\gamma_2 =\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot\sigma_2^2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= \frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot 0.25 \cdot 0.36} = 4 \cdot \gamma_1 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.556},$$

$$\gamma_{12} =-\frac{\rho}{ \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot ({\rm 1-\rho^2})}= -\frac{\rm 0.8}{\rm 1 \cdot 0.5 \cdot 0.36} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx -4.444}.$$