Exercise 2.4: Distortion Factor and Distortion Power

Zum Test eines Nachrichtenübertragungssystems wird an seinen Eingang ein Cosinussignal $$x_1(t) = A_x \cdot \cos(\omega_0 t)$$

mit der Amplitude $A_x = 1 \ \rm V$ angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf: $$y_1(t) = {0.992 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}...$$

In der oberen Grafik sind die Signale $x_1(t)$ und $y_1(t)$ dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als $10 \ \rm mV$ sind hierbei nicht berücksichtigt.
Das untere Bild zeigt das Eingangssignal $x_2(t)$ mit der Ampiltude $A_x = 2 \ \rm V$ sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als $10 \ \rm mV$:

$$y_2(t) = {1.938 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.234 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) + {0.058 \,\rm V} \cdot \cos(3\omega_0 t) -{0.018 \,\rm V} \cdot \cos(4\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$

Es ist offensichtlich, dass der Index „1” bzw. „2” jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnet.

Dieses System soll anhand des im Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen definierten Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses $$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm} \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$

sowie des Klirrfaktors $K$ analysiert werden:

$P_x$ bezeichnet die Leistung des Eingangssignals,
die so genannte Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$P_V gibt jeweils die Leistung (den quadratischen Mittelwert) des Differenzsignals §§\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$ an. Zur Bestimmung dieser Leistungen muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden. Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich. ''Hinweise:'' *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]]. *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. *Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$

Fragebogen

$A_x = 1\ \rm V$: $ K \ =$

$\%$

$A_x = 1\ \rm V$: $ K \ =$

$\%$

	Die untere Halbwelle verläuft spitzförmiger als die obere.
	Der Maximal– und Minimalwert von $y_2(t)$ sind unsymmetrisch zu $0$.
	Bei anderer Frequenz würde sich ein anderer Klirrfaktor ergeben.

$P_x \ =$

$\ {\rm V}^2$

$P_{\rm V} \ =$

$\ {\rm V}^2$

$10 \cdot {\ rm lg} \ \rho_{\ rm V} \ = $

$\ {\rm dB}$

	Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten $A_1$, $A_2$, $A_3$, ... der Ausgangsgröße berechnet werden.
	Das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis $10 \cdot {\ rm lg} \ \rho_{\ rm V}$ ist allein aus den Koeffizienten $A_1$, $A_2$, $A_3$, ... der Ausgangsgröße berechenbar.
	Für den Sonderfall $A_1 = A_x$ ⇒ keine Veränderung der Grundwelle &nbspkönnen $\rho_{\ rm V}$ und $K$> direkt ineinander umgerechnet werden.

Musterlösung

Solution

1. Mit der Eingangsamplitude A_x = 1 V entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:

$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$

2. Für die Eingangsamplitude A_x = 2 V (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:

$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121, \hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.030, \hspace{0.5cm}K_4 = \frac{0.018 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$

Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:

$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 + ... }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$

3. Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere. Da zudem y(t) gleichsignalfrei ist, gilt y_max = 1.75 V und y_min = –2.25 V. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.

Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor K unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von dessen Amplitude. Richtig sind hier somit die beiden ersten Lösungsvorschläge.

4. Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das „Wurzel aus 0.5”–fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon bezeichnet man als die Leistung:

$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$

Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand R ab und besitzt die Einheit „Watt”. Mit R = 1Ω ergibt sich P_x = 2 W, also der geanau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.

5. Bezeichnet man mit A₁ die Amplitude der Grundwelle von y₂(t) und mit A₂, A₃ und A₄ die so genannten Oberwellen, so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:

$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \left[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+ A_3^2+ A_4^2\right] = \\ = \frac{1}{2} \cdot \left[ (-2 \,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018 \,{\rm V})^2 \right] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$

Hierbei bezeichnet A_x die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.

6. Mit den Ergebnissen der Unterpunkte d) und e) erhält man:

$$10 \cdot \lg \rho_{v} = 10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}= 10 \cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10 \,{\rm dB}}.$$

7. Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt:

$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$

Dagegen gilt für den Kehrwert des Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses:

$$\frac{1}{\rho_{\rm V}} = \frac{(A_1 - A_x)^2+A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_x^2}.$$

Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung P_V wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude (diese ist nun A₁ anstelle von A_x) berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf A₁², sondern auf A_x² bezogen. Allgemein gilt zwischen dem Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:

$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$

Mit A₁ = A_x vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:

$${\rho_{\rm V}} = \frac{1}{ K^2 }.$$

Ein Klirrfaktor von 1% entspricht in diesem Fall dem Ergebnis 10 · lg ρ_ν = 40 dB. Mit dem Klirrfaktor K = 0.125 aus Teilaufgabe 2) hätte man mit der Näherung A₁ ≈ A_x sofort 10 · lg ρ_ν = 18.06 dB erhalten. Der unter Punkt f) errechnete tatsächliche Wert (18.10 dB) weicht hiervon nicht all zu sehr ab. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.