Exercise 4.4: Coaxial Cable - Frequency Response
From LNTwww
- Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge l besitzt den folgenden Frequenzgang:
- HK(f)=e−α0⋅l⋅e−α1⋅l⋅f⋅e−α2⋅l√f⋅e−j⋅β1⋅l⋅f⋅e−j⋅β2⋅l⋅√f
- Die Dämpfungsparameter α0, α1 und α2 sind in Neper (Np), die Phasenparameter β1 und β2 in Radian (rad) einzusetzen.
- Es gelten folgende Zahlenwerte:
- α0=0.00162Npkm,α1=0.000435Npkm⋅MHz,α2=0.2722Npkm⋅√MHz.
- Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
- die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
- aK(f)=−ln|HK(f)|=−20⋅lg|HK(f)|,
- die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):
- bK(f)=−arcHK(f).
- In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
- HK(f)=e−α2⋅l⋅√f⋅e−j⋅β2⋅l⋅√f⇒aK(f)=α2⋅l⋅√f,bK(f)=aK(f)⋅radNp.
- Dies ist erlaubt, da α2 und β2 genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
- a⋆(Np)=aK(f=R/2)=0.1151⋅a⋆(dB)
- lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate R und Kabellänge l einheitlich behandeln.
- Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches. Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das folgende Interaktionsmodul benutzen:
- Dämpfung von Kupferkabeln
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Der α0–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung und der β1–Term (lineare Phase) eine frequenzunabhängige Laufzeit. Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4.
- 2. Mit a0 = a0 · l muss folgende Gleichung erfüllt sein:
- e−a0≥0.99⇒a0<ln10.99≈0.01(Np).
- Damit erhält man für die maximale Kabellänge
- lmax=a0α0=0.01Np0.00162Np/km≈6.173km_.
- 3. Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
- aK(f)=[α0+α1⋅f+α2⋅√f]⋅l==[0.00162+0.000435⋅70+0.2722⋅√70]Npkm⋅2km==[0.003+0.061+4.555]Np=4.619Np_.
- 4. Entsprechend der Berechnung bei Punkt 3) erhält man hier den Dämpfungswert 4.555 Np.
- 5. Für eine jede positive Größe x gilt:
- xNp=lnx=lgxlge=120⋅lge⋅(20⋅lgx)=0.1151⋅xdB
- ⇒xdB=8.6859⋅xNp.
- Der Dämpfungswert 4.555 Np ist somit identisch mit 39.56 dB.
- 6. Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit α2 gilt für den Frequenzgang:
- HK(f)=e−α2⋅l⋅√f⋅e−j⋅β1⋅l⋅f⋅e−j⋅β2⋅l⋅√f.
- Verzichtet man auf den β1–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert τ1 = (β1 · l)/2π kleiner.
- Verzichtet man auf den β2–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
- Der Frequenzgang HK(f) erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen muss HK(f) minimalphasig sein.
- Die Impulsantwort hK(t) ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um t = 0, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
- Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
- aK(f)=α2⋅l⋅√f,bK(f)=aK(f)⋅rad/Np.
- Das heißt: aK(f) und bK(f) eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
- Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate R = 140 Mbit/s ⇒ R/2 = 70 Mbit/s und der Kabellänge l = 2 km gilt tatsächlich a∗ ≈ 40 dB (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). Ein System mit vierfacher Bitrate (R/2 = 280 Mbit/s) und halber Länge (l = 1 km) führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. Dagegen gilt für ein System mit R/2 = 35 Mbit/s und l = 2 km:
- adB=0.2722Npkm⋅√MHz⋅2km⋅√35MHz⋅8.6859dBNp≈28dB.
- Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5.
